MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdspsleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdspsleq 13658
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1233 . . . 4 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉))
2 simpr2 1235 . . . 4 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
3 simpl 468 . . . 4 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → 𝑁𝑀)
4 swrdsb0eq 13656 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
51, 2, 3, 4syl3anc 1476 . . 3 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
6 ral0 4217 . . . . . . 7 𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)
7 nn0z 11602 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
8 nn0z 11602 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 fzon 12697 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
107, 8, 9syl2an 575 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀..^𝑁) = ∅))
1110biimpa 462 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
1211raleqdv 3293 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → (∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
136, 12mpbiri 248 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑀) → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))
1413ex 397 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀 → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
15143ad2ant2 1128 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁𝑀 → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
1615impcom 394 . . 3 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))
175, 162thd 255 . 2 ((𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
18 swrdcl 13627 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
19 swrdcl 13627 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
20 eqwrd 13543 . . . . . 6 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
2118, 19, 20syl2an 575 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
22213ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
2322adantl 467 . . 3 ((¬ 𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
24 swrdsbslen 13657 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
2524adantl 467 . . . 4 ((¬ 𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))
2625biantrurd 516 . . 3 ((¬ 𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (♯‘(𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗))))
27 nn0re 11503 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
28 nn0re 11503 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
29 ltnle 10319 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁𝑀))
30 ltle 10328 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
3129, 30sylbird 250 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
3227, 28, 31syl2an 575 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
33323ad2ant2 1128 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁𝑀𝑀𝑁))
34 simpl1l 1278 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
35 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
36353ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3736adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
387, 8anim12i 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
39383ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4039anim1i 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁))
41 df-3an 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁))
4240, 41sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
43 eluz2 11894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
4442, 43sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4537, 44jca 495 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
46 simpl 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
47463ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
4847adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
4934, 45, 483jca 1122 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
50 swrdlen2 13654 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
5251oveq2d 6809 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0..^(𝑁𝑀)))
5352raleqdv 3293 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
54 0zd 11591 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 0 ∈ ℤ)
55 zsubcl 11621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
568, 7, 55syl2anr 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
57563ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
587adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
59583ad2ant2 1128 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℤ)
60 fzoshftral 12793 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀))[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
6154, 57, 59, 60syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀))[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
6261adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀))[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
63 nn0cn 11504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
64 nn0cn 11504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
65 addid2 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
6665adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 + 𝑀) = 𝑀)
67 npcan 10492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
6866, 67oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
6963, 64, 68syl2anr 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
70693ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
7170adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀)) = (𝑀..^𝑁))
7271raleqdv 3293 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀))[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
73 ovex 6823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑀) ∈ V
74 sbceqg 4128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖𝑀) ∈ V → ([(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗)))
75 csbfv2g 6373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀) ∈ V → (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀) / 𝑗𝑗))
76 csbvarg 4147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖𝑀) ∈ V → (𝑖𝑀) / 𝑗𝑗 = (𝑖𝑀))
7776fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀) ∈ V → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀) / 𝑗𝑗) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)))
7875, 77eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀) ∈ V → (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)))
79 csbfv2g 6373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀) ∈ V → (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀) / 𝑗𝑗))
8076fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖𝑀) ∈ V → ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀) / 𝑗𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)))
8179, 80eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖𝑀) ∈ V → (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)))
8278, 81eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖𝑀) ∈ V → ((𝑖𝑀) / 𝑗((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = (𝑖𝑀) / 𝑗((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀))))
8374, 82bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖𝑀) ∈ V → ([(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀))))
8473, 83mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ([(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀))))
85 swrdfv2 13655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = (𝑊𝑖))
8649, 85sylan 561 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = (𝑊𝑖))
87 simpl1r 1280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
88 simpl3r 1288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
8987, 45, 883jca 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
90 swrdfv2 13655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = (𝑈𝑖))
9189, 90sylan 561 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = (𝑈𝑖))
9286, 91eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑖𝑀)) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
9384, 92bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ([(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
9493ralbidva 3134 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
9572, 94bitrd 268 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑖 ∈ ((0 + 𝑀)..^((𝑁𝑀) + 𝑀))[(𝑖𝑀) / 𝑗]((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
9662, 95bitrd 268 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁𝑀))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
9753, 96bitrd 268 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀𝑁) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
9897ex 397 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀𝑁 → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
9933, 98syld 47 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (¬ 𝑁𝑀 → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
10099impcom 394 . . 3 ((¬ 𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) = ((𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑗) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
10123, 26, 1003bitr2d 296 . 2 ((¬ 𝑁𝑀 ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
10217, 101pm2.61ian 795 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝑈 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  [wsbc 3587  csb 3682  c0 4063  cop 4322   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   substr csubstr 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-substr 13499
This theorem is referenced by:  2swrdeqwrdeq  13662  clwwlkf1  27205  pfxsuffeqwrdeq  41934
  Copyright terms: Public domain W3C validator