MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpsnbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpsnbasval 19958
Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
ixpsnbasval ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval
StepHypRef Expression
1 ixpsnval 8439 . . 3 (𝑋𝑊X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
21adantl 485 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3 csbfv2g 6687 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
4 csbfv2g 6687 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥))
5 csbvarg 4356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥𝑥 = 𝑋)
65fveq2d 6647 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊 → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
74, 6eqtrd 2856 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
87fveq2d 6647 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊 → (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
93, 8eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
109adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
11 fvexd 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
1211anim1ci 618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
13 xpsng 6874 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1514fveq1d 6645 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
16 fvsng 6915 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1815, 17eqtrd 2856 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1918fveq2d 6647 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
2010, 19eqtrd 2856 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
21 rlmbas 19943 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
2220, 21syl6eqr 2874 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2322eleq2d 2897 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
2423anbi2d 631 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
2524abbidv 2885 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
262, 25eqtrd 2856 1 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2799  Vcvv 3471  csb 3857  {csn 4540  cop 4546   × cxp 5526   Fn wfn 6323  cfv 6328  Xcixp 8436  Basecbs 16462  ringLModcrglmod 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-sra 19920  df-rgmod 19921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator