Theorem ixpsnbasval 21122

Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ixpsnbasval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnval 8876	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3		csbfv2g 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
4		csbfv2g 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘⦋𝑋 / 𝑥⦌𝑥))
5		csbvarg 4400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝑥 = 𝑋)
6	5	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘⦋𝑋 / 𝑥⦌𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
7	4, 6	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
8	7	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
9	3, 8	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
11		fvexd 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
12	11	anim1ci 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
13		xpsng 7114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
15	14	fveq1d 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
16		fvsng 7157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
18	15, 17	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
19	18	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
21		rlmbas 21107	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
23	22	eleq2d 2815	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
25	24	abbidv 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
26	2, 25	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  Vcvv 3450  ⦋csb 3865  {csn 4592  ⟨cop 4598   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  Xcixp 8873  Basecbs 17186  ringLModcrglmod 21086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-sra 21087  df-rgmod 21088

This theorem is referenced by: (None)