MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpsnbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpsnbasval 19910
Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
ixpsnbasval ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval
StepHypRef Expression
1 ixpsnval 8452 . . 3 (𝑋𝑊X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
21adantl 482 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3 csbfv2g 6707 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
4 csbfv2g 6707 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥))
5 csbvarg 4380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥𝑥 = 𝑋)
65fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊 → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
74, 6eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
87fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊 → (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
93, 8eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
109adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
11 fvexd 6678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
1211anim1ci 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
13 xpsng 6893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1514fveq1d 6665 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
16 fvsng 6934 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1815, 17eqtrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1918fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
2010, 19eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
21 rlmbas 19896 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
2220, 21syl6eqr 2871 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2322eleq2d 2895 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
2423anbi2d 628 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
2524abbidv 2882 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
262, 25eqtrd 2853 1 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  Vcvv 3492  csb 3880  {csn 4557  cop 4563   × cxp 5546   Fn wfn 6343  cfv 6348  Xcixp 8449  Basecbs 16471  ringLModcrglmod 19870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-sra 19873  df-rgmod 19874
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator