MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpsnbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpsnbasval 20424
Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
ixpsnbasval ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval
StepHypRef Expression
1 ixpsnval 8651 . . 3 (𝑋𝑊X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
21adantl 481 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3 csbfv2g 6805 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
4 csbfv2g 6805 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥))
5 csbvarg 4367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥𝑥 = 𝑋)
65fveq2d 6765 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊 → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
74, 6eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
87fveq2d 6765 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊 → (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
93, 8eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
109adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
11 fvexd 6776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
1211anim1ci 615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
13 xpsng 6998 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1514fveq1d 6763 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
16 fvsng 7039 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1712, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1815, 17eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1918fveq2d 6765 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
2010, 19eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
21 rlmbas 20409 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
2220, 21eqtr4di 2795 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2322eleq2d 2822 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
2423anbi2d 628 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
2524abbidv 2806 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
262, 25eqtrd 2777 1 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2714  Vcvv 3427  csb 3833  {csn 4563  cop 4569   × cxp 5583   Fn wfn 6418  cfv 6423  Xcixp 8648  Basecbs 16856  ringLModcrglmod 20375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-er 8461  df-ixp 8649  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-sra 20378  df-rgmod 20379
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator