Theorem cvrnrefN 40605

Description: The covers relation is not reflexive. (cvnref 32950 analog.) (Contributed by NM, 1-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnrefN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cvrnrefN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ 𝐴)
3		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋𝐶𝑋)
5		cvrne.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrne.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7	5, 6	cvrne 40604	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
8	2, 3, 3, 4, 7	syl31anc 1401	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
9	8	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
10	9	necon2bd 2975	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐶𝑋))
11	1, 10	mpi 21	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431   ⋖ ccvr 40585

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-plt 18552  df-covers 40589

This theorem is used by: (None)