Theorem cvrnrefN 37296

Description: The covers relation is not reflexive. (cvnref 30653 analog.) (Contributed by NM, 1-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnrefN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cvrnrefN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ 𝐴)
3		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋𝐶𝑋)
5		cvrne.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrne.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7	5, 6	cvrne 37295	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
8	2, 3, 3, 4, 7	syl31anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
9	8	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
10	9	necon2bd 2959	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐶𝑋))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912   ⋖ ccvr 37276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-plt 18048  df-covers 37280

This theorem is referenced by: (None)