Theorem cvrnrefN 39945

Description: The covers relation is not reflexive. (cvnref 32583 analog.) (Contributed by NM, 1-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnrefN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cvrnrefN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ 𝐴)
3		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋𝐶𝑋)
5		cvrne.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrne.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7	5, 6	cvrne 39944	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
8	2, 3, 3, 4, 7	syl31anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
9	8	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
10	9	necon2bd 2980	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐶𝑋))
11	1, 10	mpi 21	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Basecbs 17268   ⋖ ccvr 39925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-plt 18383  df-covers 39929

This theorem is referenced by: (None)