Theorem cvrnrefN 36420

Description: The covers relation is not reflexive. (cvnref 30070 analog.) (Contributed by NM, 1-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrnrefN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Proof of Theorem cvrnrefN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. 2 ⊢ 𝑋 = 𝑋
2		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝐾 ∈ 𝐴)
3		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋𝐶𝑋)
5		cvrne.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		cvrne.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7	5, 6	cvrne 36419	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
8	2, 3, 3, 4, 7	syl31anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑋)
9	8	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑋 → 𝑋 ≠ 𝑋))
10	9	necon2bd 3034	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 𝑋 → ¬ 𝑋𝐶𝑋))
11	1, 10	mpi 20	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑋𝐶𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  Basecbs 16485   ⋖ ccvr 36400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-plt 17570  df-covers 36404

This theorem is referenced by: (None)