Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrcmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrcmp 37791
Description: If two lattice elements that cover a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 6-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrcmp.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrcmp ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem cvrcmp
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 simpl23 1254 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simpl21 1252 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpl3l 1229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍𝐢𝑋)
5 cvrcmp.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvrcmp.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
75, 6cvrne 37789 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑍𝐢𝑋) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
81, 2, 3, 4, 7syl31anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
9 cvrcmp.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
105, 9, 6cvrle 37786 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑍𝐢𝑋) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
111, 2, 3, 4, 10syl31anc 1374 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
12 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
13 simpl22 1253 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 simpl3r 1230 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘πΆπ‘Œ)
155, 9, 6cvrnbtwn4 37787 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑍 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
161, 2, 13, 3, 14, 15syl131anc 1384 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑍 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
1711, 12, 16mpbi2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ))
18 neor 3033 . . . . 5 ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
1917, 18sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
208, 19mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
2120ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
22 simp1 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
23 simp21 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
245, 9posref 18212 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
2522, 23, 24syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
26 breq2 5110 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2725, 26syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2821, 27impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201   β‹– ccvr 37770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-covers 37774
This theorem is referenced by:  cvrcmp2  37792  atcmp  37819  llncmp  38031  lplncmp  38071  lvolcmp  38126  lhp2lt  38510
  Copyright terms: Public domain W3C validator