Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrcmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrcmp 38755
Description: If two lattice elements that cover a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 6-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrcmp.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrcmp ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem cvrcmp
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 simpl23 1251 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simpl21 1249 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpl3l 1226 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍𝐢𝑋)
5 cvrcmp.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvrcmp.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
75, 6cvrne 38753 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑍𝐢𝑋) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
81, 2, 3, 4, 7syl31anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
9 cvrcmp.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
105, 9, 6cvrle 38750 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑍𝐢𝑋) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
111, 2, 3, 4, 10syl31anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
12 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
13 simpl22 1250 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 simpl3r 1227 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘πΆπ‘Œ)
155, 9, 6cvrnbtwn4 38751 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑍 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
161, 2, 13, 3, 14, 15syl131anc 1381 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑍 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
1711, 12, 16mpbi2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ))
18 neor 3031 . . . . 5 ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
1917, 18sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
208, 19mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
2120ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
22 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
23 simp21 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
245, 9posref 18310 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
2522, 23, 24syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
26 breq2 5152 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2725, 26syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2821, 27impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  lecple 17240  Posetcpo 18299   β‹– ccvr 38734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-covers 38738
This theorem is referenced by:  cvrcmp2  38756  atcmp  38783  llncmp  38995  lplncmp  39035  lvolcmp  39090  lhp2lt  39474
  Copyright terms: Public domain W3C validator