Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrcmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrcmp 38664
Description: If two lattice elements that cover a third are comparable, then they are equal. (Contributed by NM, 6-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrcmp.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrcmp.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrcmp.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrcmp ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Proof of Theorem cvrcmp
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2 simpl23 1250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 simpl21 1248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simpl3l 1225 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍𝐢𝑋)
5 cvrcmp.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 cvrcmp.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
75, 6cvrne 38662 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑍𝐢𝑋) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
81, 2, 3, 4, 7syl31anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 β‰  𝑋)
9 cvrcmp.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
105, 9, 6cvrle 38659 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑍𝐢𝑋) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
111, 2, 3, 4, 10syl31anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑍 ≀ 𝑋)
12 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
13 simpl22 1249 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 simpl3r 1226 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘πΆπ‘Œ)
155, 9, 6cvrnbtwn4 38660 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑍 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
161, 2, 13, 3, 14, 15syl131anc 1380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑍 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ↔ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ)))
1711, 12, 16mpbi2and 709 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ))
18 neor 3028 . . . . 5 ((𝑍 = 𝑋 ∨ 𝑋 = π‘Œ) ↔ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
1917, 18sylib 217 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑍 β‰  𝑋 β†’ 𝑋 = π‘Œ))
208, 19mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
2120ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ 𝑋 = π‘Œ))
22 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
23 simp21 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
245, 9posref 18281 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
2522, 23, 24syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
26 breq2 5145 . . 3 (𝑋 = π‘Œ β†’ (𝑋 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2725, 26syl5ibcom 244 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2821, 27impbid 211 1 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑍𝐢𝑋 ∧ π‘πΆπ‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  Posetcpo 18270   β‹– ccvr 38643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-covers 38647
This theorem is referenced by:  cvrcmp2  38665  atcmp  38692  llncmp  38904  lplncmp  38944  lvolcmp  38999  lhp2lt  39383
  Copyright terms: Public domain W3C validator