Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β πΎ β Poset) |
2 | | simpl23 1254 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π β π΅) |
3 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π β π΅) |
4 | | simpl3l 1229 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β ππΆπ) |
5 | | cvrcmp.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | cvrcmp.c |
. . . . . 6
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
7 | 5, 6 | cvrne 37789 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β π β π) |
8 | 1, 2, 3, 4, 7 | syl31anc 1374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π β π) |
9 | | cvrcmp.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | 5, 9, 6 | cvrle 37786 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β Poset β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β π β€ π) |
11 | 1, 2, 3, 4, 10 | syl31anc 1374 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π β€ π) |
12 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π β€ π) |
13 | | simpl22 1253 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π β π΅) |
14 | | simpl3r 1230 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β ππΆπ) |
15 | 5, 9, 6 | cvrnbtwn4 37787 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π = π β¨ π = π))) |
16 | 1, 2, 13, 3, 14, 15 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β ((π β€ π β§ π β€ π) β (π = π β¨ π = π))) |
17 | 11, 12, 16 | mpbi2and 711 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β (π = π β¨ π = π)) |
18 | | neor 3033 |
. . . . 5
β’ ((π = π β¨ π = π) β (π β π β π = π)) |
19 | 17, 18 | sylib 217 |
. . . 4
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β (π β π β π = π)) |
20 | 8, 19 | mpd 15 |
. . 3
β’ (((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β§ π β€ π) β π = π) |
21 | 20 | ex 414 |
. 2
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β (π β€ π β π = π)) |
22 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β πΎ β Poset) |
23 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β π β π΅) |
24 | 5, 9 | posref 18212 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Poset β§ π β π΅) β π β€ π) |
25 | 22, 23, 24 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β π β€ π) |
26 | | breq2 5110 |
. . 3
β’ (π = π β (π β€ π β π β€ π)) |
27 | 25, 26 | syl5ibcom 244 |
. 2
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β (π = π β π β€ π)) |
28 | 21, 27 | impbid 211 |
1
β’ ((πΎ β Poset β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (ππΆπ β§ ππΆπ)) β (π β€ π β π = π)) |