Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrne 38089
Description: The covers relation implies inequality. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrne.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrne (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋𝑌)

Proof of Theorem cvrne
StepHypRef Expression
1 cvrne.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2733 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrne.c . . 3 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 38078 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 eqid 2733 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
65, 2pltval 18281 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋𝑌)))
76simplbda 501 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝑌)
84, 7syldan 592 1 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5147  cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  ltcplt 18257  ccvr 38070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-plt 18279  df-covers 38074
This theorem is referenced by:  cvrnrefN  38090  cvrcmp  38091  cdleme3b  39038  cdleme3c  39039  cdleme7e  39056
  Copyright terms: Public domain W3C validator