Theorem cvrne 39263

Description: The covers relation implies inequality. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrne.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrne.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrne	⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem cvrne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrne.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		cvrne.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 39252	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6	5, 2	pltval 18390	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(lt‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
7	6	simplbda 499	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
8	4, 7	syldan 591	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366   ⋖ ccvr 39244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-plt 18388  df-covers 39248

This theorem is referenced by:  cvrnrefN  39264  cvrcmp  39265  cdleme3b  40212  cdleme3c  40213  cdleme7e  40230