Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrne 38146
Description: The covers relation implies inequality. (Contributed by NM, 13-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrne.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrne.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrne (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)

Proof of Theorem cvrne
StepHypRef Expression
1 cvrne.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . 3 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrne.c . . 3 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 38135 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
65, 2pltval 18284 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
76simplbda 500 . 2 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
84, 7syldan 591 1 (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17143  lecple 17203  ltcplt 18260   β‹– ccvr 38127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-plt 18282  df-covers 38131
This theorem is referenced by:  cvrnrefN  38147  cvrcmp  38148  cdleme3b  39095  cdleme3c  39096  cdleme7e  39113
  Copyright terms: Public domain W3C validator