MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dom3el3dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dom3el3dif 7273
Description: The codomain of a 1-1 function from a set with three different elements has (at least) three different elements. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1dom3fv3dif.v (𝜑 → (𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍))
f1dom3fv3dif.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
f1dom3fv3dif.f (𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅)
Assertion
Ref Expression
f1dom3el3dif (𝜑 → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem f1dom3el3dif
StepHypRef Expression
1 f1dom3fv3dif.f . . 3 (𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅)
2 f1f 6787 . . . 4 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
3 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
4 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = 𝐴)
543mix1d 1333 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶))
6 f1dom3fv3dif.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍))
76simp1d 1139 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑋)
8 eltpg 4686 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶)))
105, 9mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
123, 11ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑅)
13 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐵)
14133mix2d 1334 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶))
156simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑌)
16 eltpg 4686 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑌 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶)))
1814, 17mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
203, 19ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑅)
216simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑍)
22 tpid3g 4773 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑍𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2423adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
253, 24ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)
2612, 20, 253jca 1125 . . . . 5 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅))
2726expcom 412 . . . 4 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅 → (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)))
282, 27syl 17 . . 3 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅 → (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)))
291, 28mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅))
30 f1dom3fv3dif.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
316, 30, 1f1dom3fv3dif 7272 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶)))
32 neeq1 2993 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑦))
33 neeq1 2993 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥𝑧 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧))
3432, 333anbi12d 1433 . . 3 (𝑥 = (𝐹𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧𝑦𝑧)))
35 neeq2 2994 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ↔ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵)))
36 neeq1 2993 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧))
3735, 363anbi13d 1434 . . 3 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧𝑦𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧)))
38 neeq2 2994 . . . 4 (𝑧 = (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶)))
39 neeq2 2994 . . . 4 (𝑧 = (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐵) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶)))
4038, 393anbi23d 1435 . . 3 (𝑧 = (𝐹𝐶) → (((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶))))
4134, 37, 40rspc3ev 3620 . 2 ((((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅) ∧ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶))) → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
4229, 31, 41syl2anc 582 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wrex 3060  {ctp 4629  wf 6539  1-1wf1 6540  cfv 6543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fv 6551
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  14474
  Copyright terms: Public domain W3C validator