Theorem f1dom3el3dif 7216

Description: The codomain of a 1-1 function from a set with three different elements has (at least) three different elements. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1dom3fv3dif.v	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
f1dom3fv3dif.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
f1dom3fv3dif.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅)

Assertion

Ref	Expression
f1dom3el3dif	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑅 ∃𝑦 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝑅 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem f1dom3el3dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dom3fv3dif.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅)
2		f1f 6738	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
3		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
4		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
5	4	3mix1d 1336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))
6		f1dom3fv3dif.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
7	6	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		eltpg 4646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
10	5, 9	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
12	3, 11	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅)
13		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐵)
14	13	3mix2d 1337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶))
15	6	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
16		eltpg 4646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑌 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
18	14, 17	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
20	3, 19	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑅)
21	6	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
22		tpid3g 4733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
24	23	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
25	3, 24	ffvelcdmd 7036	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑅)
26	12, 20, 25	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑅))
27	26	expcom 414	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅 → (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑅)))
28	2, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1→𝑅 → (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑅)))
29	1, 28	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑅))
30		f1dom3fv3dif.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
31	6, 30, 1	f1dom3fv3dif 7215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶)))
32		neeq1 3006	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑦))
33		neeq1 3006	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑧))
34	32, 33	3anbi12d 1437	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
35		neeq2 3007	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐵) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑦 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵)))
36		neeq1 3006	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐵) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝐵) ≠ 𝑧))
37	35, 36	3anbi13d 1438	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐵) → (((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ 𝑧)))
38		neeq2 3007	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝐶) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶)))
39		neeq2 3007	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝐶) → ((𝐹‘𝐵) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶)))
40	38, 39	3anbi23d 1439	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝐶) → (((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶))))
41	34, 37, 40	rspc3ev 3594	. 2 ⊢ ((((𝐹‘𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑅) ∧ ((𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘𝐶) ∧ (𝐹‘𝐵) ≠ (𝐹‘𝐶))) → ∃𝑥 ∈ 𝑅 ∃𝑦 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝑅 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
42	29, 31, 41	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑅 ∃𝑦 ∈ 𝑅 ∃𝑧 ∈ 𝑅 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3073  {ctp 4590  ⟶wf 6492  –1-1→wf1 6493  ‘cfv 6496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fv 6504

This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  14385