MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dom3el3dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dom3el3dif 7134
Description: The range of a 1-1 function from a set with three different elements has (at least) three different elements. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1dom3fv3dif.v (𝜑 → (𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍))
f1dom3fv3dif.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
f1dom3fv3dif.f (𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅)
Assertion
Ref Expression
f1dom3el3dif (𝜑 → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem f1dom3el3dif
StepHypRef Expression
1 f1dom3fv3dif.f . . 3 (𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅)
2 f1f 6662 . . . 4 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
3 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅)
4 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = 𝐴)
543mix1d 1335 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶))
6 f1dom3fv3dif.v . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶𝑍))
76simp1d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑋)
8 eltpg 4621 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐶)))
105, 9mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
123, 11ffvelrnd 6954 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐴) ∈ 𝑅)
13 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐵)
14133mix2d 1336 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶))
156simp2d 1142 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑌)
16 eltpg 4621 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑌 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ↔ (𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐵 = 𝐶)))
1814, 17mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
203, 19ffvelrnd 6954 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐵) ∈ 𝑅)
216simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑍)
22 tpid3g 4708 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑍𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶})
253, 24ffvelrnd 6954 . . . . . 6 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)
2612, 20, 253jca 1127 . . . . 5 ((𝜑𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅) → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅))
2726expcom 414 . . . 4 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}⟶𝑅 → (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)))
282, 27syl 17 . . 3 (𝐹:{𝐴, 𝐵, 𝐶}–1-1𝑅 → (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅)))
291, 28mpcom 38 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅))
30 f1dom3fv3dif.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐵𝐶))
316, 30, 1f1dom3fv3dif 7133 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶)))
32 neeq1 3006 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑦))
33 neeq1 3006 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝐴) → (𝑥𝑧 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧))
3432, 333anbi12d 1436 . . 3 (𝑥 = (𝐹𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧𝑦𝑧)))
35 neeq2 3007 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝐵) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ↔ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵)))
36 neeq1 3006 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧))
3735, 363anbi13d 1437 . . 3 (𝑦 = (𝐹𝐵) → (((𝐹𝐴) ≠ 𝑦 ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧𝑦𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧)))
38 neeq2 3007 . . . 4 (𝑧 = (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶)))
39 neeq2 3007 . . . 4 (𝑧 = (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐵) ≠ 𝑧 ↔ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶)))
4038, 393anbi23d 1438 . . 3 (𝑧 = (𝐹𝐶) → (((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑧 ∧ (𝐹𝐵) ≠ 𝑧) ↔ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶))))
4134, 37, 40rspc3ev 3573 . 2 ((((𝐹𝐴) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐵) ∈ 𝑅 ∧ (𝐹𝐶) ∈ 𝑅) ∧ ((𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹𝐶) ∧ (𝐹𝐵) ≠ (𝐹𝐶))) → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
4229, 31, 41syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑅𝑦𝑅𝑧𝑅 (𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  {ctp 4565  wf 6422  1-1wf1 6423  cfv 6426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pr 5350
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fv 6434
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  14210
  Copyright terms: Public domain W3C validator