Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fldhmf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fldhmf1 42072
Description: A field homomorphism is injective. This follows immediately from the definition of the ring homomorphism that sends the multiplicative identity to the multiplicative identity. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
fldhmf1.1 (𝜑𝐾 ∈ Field)
fldhmf1.2 (𝜑𝐿 ∈ Field)
fldhmf1.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
fldhmf1.4 𝐴 = (Base‘𝐾)
fldhmf1.5 𝐵 = (Base‘𝐿)
Assertion
Ref Expression
fldhmf1 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)

Proof of Theorem fldhmf1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fldhmf1.3 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
2 fldhmf1.4 . . . . 5 𝐴 = (Base‘𝐾)
3 fldhmf1.5 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐿)
42, 3rhmf 20502 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹:𝐴𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
61ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
7 rhmghm 20501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
9 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝑎𝐴)
10 fldhmf1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ Field)
11 isfld 20757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
1210, 11sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
1312simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
1413ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐾 ∈ DivRing)
15 drnggrp 20756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐾 ∈ Grp)
17 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝑏𝐴)
18 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐾) = (invg𝐾)
192, 18grpinvcl 19018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐴) → ((invg𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
2016, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invg𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
21 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐾) = (+g𝐾)
22 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (+g𝐿) = (+g𝐿)
232, 21, 22ghmlin 19252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑎𝐴 ∧ ((invg𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹𝑎)(+g𝐿)(𝐹‘((invg𝐾)‘𝑏))))
248, 9, 20, 23syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹𝑎)(+g𝐿)(𝐹‘((invg𝐾)‘𝑏))))
25 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (invg𝐿) = (invg𝐿)
262, 18, 25ghminv 19254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑏𝐴) → (𝐹‘((invg𝐾)‘𝑏)) = ((invg𝐿)‘(𝐹𝑏)))
278, 17, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘((invg𝐾)‘𝑏)) = ((invg𝐿)‘(𝐹𝑏)))
2827oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐿)(𝐹‘((invg𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹𝑎)(+g𝐿)((invg𝐿)‘(𝐹𝑏))))
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
3029oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐿)((invg𝐿)‘(𝐹𝑏))) = ((𝐹𝑏)(+g𝐿)((invg𝐿)‘(𝐹𝑏))))
31 fldhmf1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐿 ∈ Field)
3231ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → 𝐿 ∈ Field)
33 isfld 20757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ Field ↔ (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
3432, 33sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
3534simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → 𝐿 ∈ DivRing)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐿 ∈ DivRing)
37 drngring 20753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ Ring)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐿 ∈ Ring)
3938ringgrpd 20260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐿 ∈ Grp)
406, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐹:𝐴𝐵)
4140, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐵)
42 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝐿) = (0g𝐿)
433, 22, 42, 25grprinv 19021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑏)(+g𝐿)((invg𝐿)‘(𝐹𝑏))) = (0g𝐿))
4439, 41, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹𝑏)(+g𝐿)((invg𝐿)‘(𝐹𝑏))) = (0g𝐿))
4530, 44eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐿)((invg𝐿)‘(𝐹𝑏))) = (0g𝐿))
4628, 45eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹𝑎)(+g𝐿)(𝐹‘((invg𝐾)‘𝑏))) = (0g𝐿))
4724, 46eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) = (0g𝐿))
4847oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = ((0g𝐿)(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))))
492, 21grpcl 18972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐴 ∧ ((invg𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
5016, 9, 20, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
512, 18grpinvinv 19036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐴) → ((invg𝐾)‘((invg𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
5216, 17, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invg𝐾)‘((invg𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
53 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝑎𝑏)
5453necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝑏𝑎)
5552, 54eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invg𝐾)‘((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎)
56 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0g𝐾) = (0g𝐾)
572, 21, 56, 18grpinvid2 19023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴𝑎𝐴) → (((invg𝐾)‘((invg𝐾)‘𝑏)) = 𝑎 ↔ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) = (0g𝐾)))
5857necon3bid 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴𝑎𝐴) → (((invg𝐾)‘((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g𝐾)))
5916, 20, 9, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (((invg𝐾)‘((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g𝐾)))
6055, 59mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g𝐾))
6150, 60jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g𝐾)))
62 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
632, 62, 56drngunit 20751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ DivRing → ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g𝐾))))
6414, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g𝐾))))
6561, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾))
66 rhmunitinv 20528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) = ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))))
676, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) = ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))))
68 elrhmunit 20527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
696, 65, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
70 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
71 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (invr𝐿) = (invr𝐿)
7270, 71unitinvcl 20407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿)) → ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
7338, 69, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
743, 70, 42drngunit 20751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ DivRing → (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g𝐿))))
7536, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g𝐿))))
7675biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) → (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g𝐿))))
7773, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g𝐿)))
7877simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invr𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
7967, 78eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
8038, 79jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵))
81 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝐿) = (.r𝐿)
823, 81, 42ringlz 20307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵) → ((0g𝐿)(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = (0g𝐿))
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((0g𝐿)(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = (0g𝐿))
8448, 83eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = (0g𝐿))
8584eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (0g𝐿) = ((𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))))
8612simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
8786crngringd 20264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
8887ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
89 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (invr𝐾) = (invr𝐾)
9062, 89unitinvcl 20407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
9188, 65, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
92 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9392, 62unitcl 20392 . . . . . . . . . . . . 13 (((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Base‘𝐾))
942eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐾) = 𝐴
9593, 94eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
9691, 95syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
97 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝐾) = (.r𝐾)
982, 97, 81rhmmul 20503 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ ((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))))
996, 50, 96, 98syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))))
10099eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))(.r𝐿)(𝐹‘((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))))
101 drngring 20753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
10214, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
103 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (1r𝐾) = (1r𝐾)
10462, 89, 97, 103unitrinv 20411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) = (1r𝐾))
105102, 65, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏)))) = (1r𝐾))
106105fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘(1r𝐾)))
107 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝐿) = (1r𝐿)
108103, 107rhm1 20506 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → (𝐹‘(1r𝐾)) = (1r𝐿))
1096, 108syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘(1r𝐾)) = (1r𝐿))
110106, 109eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))(.r𝐾)((invr𝐾)‘(𝑎(+g𝐾)((invg𝐾)‘𝑏))))) = (1r𝐿))
11185, 100, 1103eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (0g𝐿) = (1r𝐿))
11242, 107drngunz 20764 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ DivRing → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
11335, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → (1r𝐿) ≠ (0g𝐿))
114113necomd 2994 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → (0g𝐿) ≠ (1r𝐿))
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → (0g𝐿) ≠ (1r𝐿))
116115neneqd 2943 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏)) → ¬ (0g𝐿) = (1r𝐿))
117111, 116pm2.65da 817 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → ¬ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
118117neqned 2945 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) ∧ 𝑎𝑏) → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏))
119118ex 412 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)))
120119ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)))
121120ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏)))
1225, 121jca 511 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏))))
123 dff14a 7290 . 2 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐴𝑏𝐴 (𝑎𝑏 → (𝐹𝑎) ≠ (𝐹𝑏))))
124122, 123sylibr 234 1 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965   GrpHom cghm 19243  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  Unitcui 20372  invrcinvr 20404   RingHom crh 20486  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-drng 20748  df-field 20749
This theorem is referenced by:  aks5lem7  42182
  Copyright terms: Public domain W3C validator