Theorem fldhmf1 42092

Description: A field homomorphism is injective. This follows immediately from the definition of the ring homomorphism that sends the multiplicative identity to the multiplicative identity. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldhmf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
fldhmf1.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldhmf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
fldhmf1.4	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
fldhmf1.5	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fldhmf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Proof of Theorem fldhmf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldhmf1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
2		fldhmf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
3		fldhmf1.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
4	2, 3	rhmf 20486	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	1	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
7		rhmghm 20485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
9		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
10		fldhmf1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
11		isfld 20741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
12	10, 11	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
13	12	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
14	13	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ DivRing)
15		drnggrp 20740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Grp)
17		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐾) = (invg‘𝐾)
19	2, 18	grpinvcl 19006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
21		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
23	2, 21, 22	ghmlin 19240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))))
24	8, 9, 20, 23	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))))
25		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐿) = (invg‘𝐿)
26	2, 18, 25	ghminv 19242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = ((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏)))
27	8, 17, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = ((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏)))
28	27	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))))
29		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
30	29	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))))
31		fldhmf1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
32	31	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐿 ∈ Field)
33		isfld 20741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ Field ↔ (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
34	32, 33	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
35	34	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐿 ∈ DivRing)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ DivRing)
37		drngring 20737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ Ring)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ Ring)
39	38	ringgrpd 20240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ Grp)
40	6, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
41	40, 17	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐵)
42		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	3, 22, 42, 25	grprinv 19009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
44	39, 41, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
45	30, 44	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
46	28, 45	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
47	24, 46	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
48	47	oveq1d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
49	2, 21	grpcl 18960	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
50	16, 9, 20, 49	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
51	2, 18	grpinvinv 19024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
52	16, 17, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
53		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
54	53	necomd 2995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑏 ≠ 𝑎)
55	52, 54	eqnetrd 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎)
56		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
57	2, 21, 56, 18	grpinvid2 19011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) = (0g‘𝐾)))
58	57	necon3bid 2984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
59	16, 20, 9, 58	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
60	55, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))
61	50, 60	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
62		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
63	2, 62, 56	drngunit 20735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))))
64	14, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))))
65	61, 64	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾))
66		rhmunitinv 20512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))))
67	6, 65, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))))
68		elrhmunit 20511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
69	6, 65, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
70		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
71		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
72	70, 71	unitinvcl 20391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
73	38, 69, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
74	3, 70, 42	drngunit 20735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
75	36, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
76	75	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
77	73, 76	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿)))
78	77	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
79	67, 78	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
80	38, 79	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵))
81		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
82	3, 81, 42	ringlz 20291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
83	80, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
84	48, 83	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
85	84	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
86	12	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
87	86	crngringd 20244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
88	87	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
89		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
90	62, 89	unitinvcl 20391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
91	88, 65, 90	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
92		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
93	92, 62	unitcl 20376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Base‘𝐾))
94	2	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
95	93, 94	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
96	91, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
97		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
98	2, 97, 81	rhmmul 20487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
99	6, 50, 96, 98	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
100	99	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
101		drngring 20737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
102	14, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
103		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
104	62, 89, 97, 103	unitrinv 20395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = (1r‘𝐾))
105	102, 65, 104	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = (1r‘𝐾))
106	105	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘(1r‘𝐾)))
107		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
108	103, 107	rhm1 20490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → (𝐹‘(1r‘𝐾)) = (1r‘𝐿))
109	6, 108	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(1r‘𝐾)) = (1r‘𝐿))
110	106, 109	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (1r‘𝐿))
111	85, 100, 110	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) = (1r‘𝐿))
112	42, 107	drngunz 20748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
113	35, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
114	113	necomd 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (0g‘𝐿) ≠ (1r‘𝐿))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) ≠ (1r‘𝐿))
116	115	neneqd 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ¬ (0g‘𝐿) = (1r‘𝐿))
117	111, 116	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ¬ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
118	117	neqned 2946	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))
119	118	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
120	119	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
121	120	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
122	5, 121	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))))
123		dff14a 7291	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))))
124	122, 123	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ⟶wf 6556  –1-1→wf1 6557  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953   GrpHom cghm 19231  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  Unitcui 20356  inv_rcinvr 20388   RingHom crh 20470  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473  df-drng 20732  df-field 20733

This theorem is referenced by:  aks5lem7  42202