Theorem fldhmf1 42582

Description: A field homomorphism is injective. This follows immediately from the definition of the ring homomorphism that sends the multiplicative identity to the multiplicative identity. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldhmf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
fldhmf1.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldhmf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
fldhmf1.4	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
fldhmf1.5	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fldhmf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Proof of Theorem fldhmf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldhmf1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
2		fldhmf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
3		fldhmf1.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
4	2, 3	rhmf 20462	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	1	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
7		rhmghm 20461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
9		simp-4r 789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
10		fldhmf1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
11		isfld 20719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
12	10, 11	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
13	12	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
14	13	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ DivRing)
15		drnggrp 20718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Grp)
17		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
18		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐾) = (invg‘𝐾)
19	2, 18	grpinvcl 18961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
21		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
23	2, 21, 22	ghmlin 19194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))))
24	8, 9, 20, 23	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))))
25		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐿) = (invg‘𝐿)
26	2, 18, 25	ghminv 19196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = ((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏)))
27	8, 17, 26	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = ((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏)))
28	27	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))))
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
30	29	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))))
31		fldhmf1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
32	31	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐿 ∈ Field)
33		isfld 20719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ Field ↔ (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
34	32, 33	sylib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
35	34	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐿 ∈ DivRing)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ DivRing)
37		drngring 20715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ Ring)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ Ring)
39	38	ringgrpd 20221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ Grp)
40	6, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
41	40, 17	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐵)
42		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	3, 22, 42, 25	grprinv 18964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
44	39, 41, 43	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
45	30, 44	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
46	28, 45	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
47	24, 46	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
48	47	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
49	2, 21	grpcl 18915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
50	16, 9, 20, 49	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
51	2, 18	grpinvinv 18979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
52	16, 17, 51	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
53		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
54	53	necomd 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑏 ≠ 𝑎)
55	52, 54	eqnetrd 3002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎)
56		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
57	2, 21, 56, 18	grpinvid2 18966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) = (0g‘𝐾)))
58	57	necon3bid 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
59	16, 20, 9, 58	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
60	55, 59	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))
61	50, 60	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
62		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
63	2, 62, 56	drngunit 20713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))))
64	14, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))))
65	61, 64	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾))
66		rhmunitinv 20490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))))
67	6, 65, 66	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))))
68		elrhmunit 20489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
69	6, 65, 68	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
70		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
71		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
72	70, 71	unitinvcl 20368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
73	38, 69, 72	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
74	3, 70, 42	drngunit 20713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
75	36, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
76	75	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
77	73, 76	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿)))
78	77	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
79	67, 78	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
80	38, 79	jca 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵))
81		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
82	3, 81, 42	ringlz 20272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
83	80, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
84	48, 83	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
85	84	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
86	12	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
87	86	crngringd 20225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
88	87	ad4antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
89		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
90	62, 89	unitinvcl 20368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
91	88, 65, 90	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
92		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
93	92, 62	unitcl 20353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Base‘𝐾))
94	2	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
95	93, 94	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
96	91, 95	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
97		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
98	2, 97, 81	rhmmul 20464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
99	6, 50, 96, 98	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
100	99	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
101		drngring 20715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
102	14, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
103		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
104	62, 89, 97, 103	unitrinv 20372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = (1r‘𝐾))
105	102, 65, 104	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = (1r‘𝐾))
106	105	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘(1r‘𝐾)))
107		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
108	103, 107	rhm1 20467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → (𝐹‘(1r‘𝐾)) = (1r‘𝐿))
109	6, 108	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(1r‘𝐾)) = (1r‘𝐿))
110	106, 109	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (1r‘𝐿))
111	85, 100, 110	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) = (1r‘𝐿))
112	42, 107	drngunz 20726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
113	35, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
114	113	necomd 2990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (0g‘𝐿) ≠ (1r‘𝐿))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) ≠ (1r‘𝐿))
116	115	neneqd 2940	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ¬ (0g‘𝐿) = (1r‘𝐿))
117	111, 116	pm2.65da 822	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ¬ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
118	117	neqned 2942	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))
119	118	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
120	119	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
121	120	ralrimiva 3132	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
122	5, 121	jca 516	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))))
123		dff14a 7221	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))))
124	122, 123	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908   GrpHom cghm 19185  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  Unitcui 20333  inv_rcinvr 20365   RingHom crh 20447  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rhm 20450  df-drng 20710  df-field 20711

This theorem is referenced by:  aks5lem7  42692