Theorem fldhmf1 43332

Description: A field homomorphism is injective. This follows immediately from the definition of the ring homomorphism that sends the multiplicative identity to the multiplicative identity. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldhmf1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
fldhmf1.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldhmf1.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
fldhmf1.4	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
fldhmf1.5	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)

Assertion

Ref	Expression
fldhmf1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵)

Proof of Theorem fldhmf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldhmf1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
2		fldhmf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
3		fldhmf1.5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐿)
4	2, 3	rhmf 20745	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	1	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿))
7		rhmghm 20744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿))
9		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
10		fldhmf1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
11		isfld 21023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
12	10, 11	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
13	12	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
14	13	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ DivRing)
15		drnggrp 21020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Grp)
17		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
18		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐾) = (invg‘𝐾)
19	2, 18	grpinvcl 19227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
20	16, 17, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴)
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
23	2, 21, 22	ghmlin 19464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))))
24	8, 9, 20, 23	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (invg‘𝐿) = (invg‘𝐿)
26	2, 18, 25	ghminv 19466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 GrpHom 𝐿) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = ((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏)))
27	8, 17, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = ((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏)))
28	27	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))))
29		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
30	29	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))))
31		fldhmf1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
32	31	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐿 ∈ Field)
33		isfld 21023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ Field ↔ (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
34	32, 33	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐿 ∈ DivRing ∧ 𝐿 ∈ CRing))
35	34	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → 𝐿 ∈ DivRing)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ DivRing)
37		drngring 21017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ Ring)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ Ring)
39	38	ringgrpd 20499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐿 ∈ Grp)
40	6, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
41	40, 17	ffvelcdmd 7109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐵)
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
43	3, 22, 42, 25	grprinv 19230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
44	39, 41, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑏)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
45	30, 44	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)((invg‘𝐿)‘(𝐹‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
46	28, 45	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐿)(𝐹‘((invg‘𝐾)‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
47	24, 46	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) = (0g‘𝐿))
48	47	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
49	2, 21	grpcl 19181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
50	16, 9, 20, 49	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴)
51	2, 18	grpinvinv 19245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
52	16, 17, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑏)
53		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑎 ≠ 𝑏)
54	53	necomd 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝑏 ≠ 𝑎)
55	52, 54	eqnetrd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎)
56		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
57	2, 21, 56, 18	grpinvid2 19232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) = 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) = (0g‘𝐾)))
58	57	necon3bid 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐾)‘𝑏) ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
59	16, 20, 9, 58	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invg‘𝐾)‘((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ 𝑎 ↔ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
60	55, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))
61	50, 60	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾)))
62		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
63	2, 62, 56	drngunit 21015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))))
64	14, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾) ↔ ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ≠ (0g‘𝐾))))
65	61, 64	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾))
66		rhmunitinv 20791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))))
67	6, 65, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))))
68		elrhmunit 20790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
69	6, 65, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿))
70		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝐿) = (Unit‘𝐿)
71		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (invr‘𝐿) = (invr‘𝐿)
72	70, 71	unitinvcl 20650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐿)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
73	38, 69, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿))
74	3, 70, 42	drngunit 21015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
75	36, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) ↔ (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
76	75	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ (Unit‘𝐿) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿))))
77	73, 76	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ≠ (0g‘𝐿)))
78	77	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐿)‘(𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
79	67, 78	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵)
80	38, 79	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵))
81		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
82	3, 81, 42	ringlz 20554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
83	80, 82	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((0g‘𝐿)(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
84	48, 83	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (0g‘𝐿))
85	84	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
86	12	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
87	86	crngringd 20503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
88	87	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
89		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝐾) = (invr‘𝐾)
90	62, 89	unitinvcl 20650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
91	88, 65, 90	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾))
92		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
93	92, 62	unitcl 20635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Base‘𝐾))
94	2	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
95	93, 94	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ (Unit‘𝐾) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
96	91, 95	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴)
97		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
98	2, 97, 81	rhmmul 20750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ 𝐴 ∧ ((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
99	6, 50, 96, 98	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
100	99	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝐹‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))(.r‘𝐿)(𝐹‘((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))))
101		drngring 21017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
102	14, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → 𝐾 ∈ Ring)
103		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
104	62, 89, 97, 103	unitrinv 20654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)) ∈ (Unit‘𝐾)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = (1r‘𝐾))
105	102, 65, 104	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏)))) = (1r‘𝐾))
106	105	fveq2d 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (𝐹‘(1r‘𝐾)))
107		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
108	103, 107	rhm1 20754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾 RingHom 𝐿) → (𝐹‘(1r‘𝐾)) = (1r‘𝐿))
109	6, 108	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘(1r‘𝐾)) = (1r‘𝐿))
110	106, 109	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (𝐹‘((𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))(.r‘𝐾)((invr‘𝐾)‘(𝑎(+g‘𝐾)((invg‘𝐾)‘𝑏))))) = (1r‘𝐿))
111	85, 100, 110	3eqtrd 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) = (1r‘𝐿))
112	42, 107	drngunz 21031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ DivRing → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
113	35, 112	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))
114	113	necomd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (0g‘𝐿) ≠ (1r‘𝐿))
115	114	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → (0g‘𝐿) ≠ (1r‘𝐿))
116	115	neneqd 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏)) → ¬ (0g‘𝐿) = (1r‘𝐿))
117	111, 116	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ¬ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏))
118	117	neqned 2966	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))
119	118	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
120	119	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
121	120	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏)))
122	5, 121	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))))
123		dff14a 7297	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐴 (𝑎 ≠ 𝑏 → (𝐹‘𝑎) ≠ (𝐹‘𝑏))))
124	122, 123	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶1-1𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ⟶wf 6554  ⟶1-1wf1 6555  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174   GrpHom cghm 19456  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  Unitcui 20615  inv_rcinvr 20647   RingHom crh 20729  DivRingcdr 21010  Fieldcfield 21011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-ghm 19457  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-rhm 20732  df-drng 21012  df-field 21013

This theorem is used by:  aks5lem7  43442