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Theorem nnfoctbdjlem 46470
Description: There exists a mapping from onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdjlem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
nnfoctbdjlem.g (𝜑𝐺:𝐴1-1-onto𝑋)
nnfoctbdjlem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
nnfoctbdjlem.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdjlem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑓,𝐹,𝑛   𝑦,𝐹   𝑛,𝐺,𝑦   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4531 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
21adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
3 0ex 5307 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
43snid 4662 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
5 elun2 4183 . . . . . . . 8 (∅ ∈ {∅} → ∅ ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝑋 ∪ {∅})
72, 6eqeltrdi 2849 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
87adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
9 iffalse 4534 . . . . . . 7 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
109adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
11 nnfoctbdjlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐴1-1-onto𝑋)
12 f1of 6848 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴𝑋)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝐴𝑋)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝐺:𝐴𝑋)
15 pm2.46 883 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1615notnotrd 133 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1814, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
1918adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
20 elun1 4182 . . . . . . 7 ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
2210, 21eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
238, 22pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
24 nnfoctbdjlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
2523, 24fmptd 7134 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∪ {∅}))
26 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
27 f1ofo 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴onto𝑋)
28 forn 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴onto𝑋 → ran 𝐺 = 𝑋)
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝐺 = 𝑋)
3029eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = ran 𝐺)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑋 = ran 𝐺)
3226, 31eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
3313ffnd 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
34 fvelrnb 6969 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3732, 36mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦)
38 nnfoctbdjlem.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3938sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41403adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))))
43 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
44 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4539nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ+)
4644, 45ltaddrp2d 13111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 < (𝑘 + 1))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 < (𝑘 + 1))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
4948eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑘 + 1) = 𝑛)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) = 𝑛)
5147, 50breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 < 𝑛)
5243, 51gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 ≠ 1)
5352neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ 𝑛 = 1)
54 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
5539nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5755, 56pncand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5854, 57sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑛 − 1) = 𝑘)
59 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑘𝐴)
6058, 59eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
6160notnotd 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
62 ioran 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝑛 = 1 ∧ ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴))
6353, 61, 62sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴))
6463iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
6558fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺𝑘))
6664, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺𝑘))
6713ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
6842, 66, 40, 67fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐺𝑘))
69683adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐺𝑘))
70 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐺𝑘) = 𝑦)
7169, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦)
72 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7372eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑚) = 𝑦 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦))
7473rspcev 3622 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
7541, 71, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
76753exp 1120 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ((𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑘𝐴 → ((𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)))
7877rexlimdv 3153 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦))
7937, 78mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
80 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑚) = 𝑦 → (𝐹𝑚) = 𝑦)
8180eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑚) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑚))
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑚) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑚)))
8382reximdva 3168 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚)))
8479, 83mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
8584adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
86 simpll 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝜑)
87 elunnel1 4154 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅}) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ {∅})
88 elsni 4643 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
8987, 88syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅}) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 = ∅)
9089adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 = ∅)
91 1nn 12277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = ∅) → 1 ∈ ℕ)
931orcs 876 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
9491a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
953a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ V)
9624, 93, 94, 95fvmptd3 7039 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) = ∅)
9796adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝐹‘1) = ∅)
98 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
9998eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ∅ = 𝑦)
10099adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ = 𝑦)
10197, 100eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = (𝐹‘1))
102 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (𝐹𝑚) = (𝐹‘1))
103102rspceeqv 3645 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐹‘1)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10492, 101, 103syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10586, 90, 104syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10685, 105pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
107106ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
108 dffo3 7122 . . 3 (𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ↔ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∪ {∅}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚)))
10925, 107, 108sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}))
110 animorrl 983 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
1112, 3eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V)
11224fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V) → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
113111, 112syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
114113, 2eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = ∅)
115114ineq1d 4219 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = (∅ ∩ (𝐹𝑚)))
116 0in 4397 . . . . . . . . . 10 (∅ ∩ (𝐹𝑚)) = ∅
117115, 116eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
118117adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
119118ad4ant24 754 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
120 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑚 = 1))
121 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 − 1) = (𝑚 − 1))
122121eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴))
123122notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴))
124120, 123orbi12d 919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ↔ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)))
125121fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
126124, 125ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
127 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
128 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
129128, 3eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) ∈ V)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) ∈ V)
13124, 126, 127, 130fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
132128adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
133131, 132eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = ∅)
134133ineq2d 4220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑛) ∩ ∅))
135 in0 4395 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑛) ∩ ∅) = ∅
136134, 135eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
137136adantll 714 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
138137ad5ant25 762 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
139 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ V
1403, 139ifex 4576 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V
141140, 112mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
142141, 9sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
143142adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
1441433adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
14524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))))
146126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
147 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
148147ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
149146, 148eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
150 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
151 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ V)
152145, 149, 150, 151fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
153152adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
1541533adant2 1132 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
155144, 154ineq12d 4221 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
156155ad5ant245 1363 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
15716ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
158 pm2.46 883 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → ¬ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
159158notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
161 f1of1 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴1-1𝑋)
16211, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:𝐴1-1𝑋)
163 dff14a 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴1-1𝑋 ↔ (𝐺:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
164162, 163sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
165164simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
166165adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
167166ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
168157, 160, 167jca31 514 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
169 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
171170ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛 ∈ ℂ)
172 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
173172adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
174173ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚 ∈ ℂ)
175 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 1 ∈ ℂ)
176 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
177171, 174, 175, 176subneintr2d 11666 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1))
178177ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1))
179 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 − 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑛 − 1) ≠ 𝑦))
180 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑛 − 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
181180neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 − 1) → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦)))
182179, 181imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 − 1) → ((𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)) ↔ ((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦))))
183 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑚 − 1) → ((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 ↔ (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1)))
184 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑚 − 1) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
185184neeq2d 3001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑚 − 1) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
186183, 185imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑚 − 1) → (((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦)) ↔ ((𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1)))))
187182, 186rspc2va 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))) → ((𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
188168, 178, 187sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1)))
189188neneqd 2945 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
19018ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
19113ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
192159, 191sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
193192ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
194 nnfoctbdjlem.dj . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
195 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
196195disjor 5125 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑋 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
197194, 196sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
198197ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
199 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧))
200 ineq1 4213 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → (𝑦𝑧) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧))
201200eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → ((𝑦𝑧) = ∅ ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅))
202199, 201orbi12d 919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → ((𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅) ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅)))
203 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1))))
204 ineq2 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
205204eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅ ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
206203, 205orbi12d 919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅) ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)))
207202, 206rspc2va 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
208190, 193, 198, 207syl21anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
209208adantllr 719 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
210 orel1 889 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
211189, 209, 210sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
212156, 211eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
213138, 212pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
214119, 213pm2.61dan 813 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
215214olcd 875 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
216110, 215pm2.61dane 3029 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
217216ralrimivva 3202 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
218 fveq2 6906 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
219218disjor 5125 . . 3 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
220217, 219sylibr 234 . 2 (𝜑Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛))
221 nnex 12272 . . . . 5 ℕ ∈ V
222221mptex 7243 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))) ∈ V
22324, 222eqeltri 2837 . . 3 𝐹 ∈ V
224 foeq1 6816 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ↔ 𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅})))
225 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓 = 𝐹)
226225fveq1d 6908 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) = (𝐹𝑛))
227226disjeq2dv 5115 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)))
228224, 227anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) ↔ (𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛))))
229223, 228spcev 3606 . 2 ((𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
230109, 220, 229syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492  cn 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-rp 13035
This theorem is referenced by:  nnfoctbdj  46471
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