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Theorem nnfoctbdjlem 43024
Description: There exists a mapping from onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdjlem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
nnfoctbdjlem.g (𝜑𝐺:𝐴1-1-onto𝑋)
nnfoctbdjlem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
nnfoctbdjlem.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdjlem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑓,𝐹,𝑛   𝑦,𝐹   𝑛,𝐺,𝑦   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4456 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
21adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
3 0ex 5197 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
43snid 4586 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
5 elun2 4139 . . . . . . . 8 (∅ ∈ {∅} → ∅ ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝑋 ∪ {∅})
72, 6eqeltrdi 2924 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
87adantll 713 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
9 iffalse 4459 . . . . . . 7 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
109adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
11 nnfoctbdjlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐴1-1-onto𝑋)
12 f1of 6606 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴𝑋)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝐴𝑋)
1413adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝐺:𝐴𝑋)
15 pm2.46 880 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1615notnotrd 135 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1716adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1814, 17ffvelrnd 6843 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
1918adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
20 elun1 4138 . . . . . . 7 ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
2210, 21eqeltrd 2916 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
238, 22pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
24 nnfoctbdjlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
2523, 24fmptd 6869 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∪ {∅}))
26 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
27 f1ofo 6613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴onto𝑋)
28 forn 6584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴onto𝑋 → ran 𝐺 = 𝑋)
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝐺 = 𝑋)
3029eqcomd 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = ran 𝐺)
3130adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑋 = ran 𝐺)
3226, 31eleqtrd 2918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
3313ffnd 6504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
34 fvelrnb 6717 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3635adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3732, 36mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦)
38 nnfoctbdjlem.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3938sselda 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039peano2nnd 11651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41403adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))))
43 1red 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
44 1red 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4539nnrpd 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ+)
4644, 45ltaddrp2d 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 < (𝑘 + 1))
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 < (𝑘 + 1))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
4948eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑘 + 1) = 𝑛)
5049adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) = 𝑛)
5147, 50breqtrd 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 < 𝑛)
5243, 51gtned 10773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 ≠ 1)
5352neneqd 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ 𝑛 = 1)
54 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
5539nncnd 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5755, 56pncand 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5854, 57sylan9eqr 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑛 − 1) = 𝑘)
59 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑘𝐴)
6058, 59eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
6160notnotd 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
62 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝑛 = 1 ∧ ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴))
6353, 61, 62sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴))
6463iffalsed 4461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
6558fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺𝑘))
6664, 65eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺𝑘))
6713ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
6842, 66, 40, 67fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐺𝑘))
69683adant3 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐺𝑘))
70 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐺𝑘) = 𝑦)
7169, 70eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦)
72 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7372eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑚) = 𝑦 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦))
7473rspcev 3609 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
7541, 71, 74syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
76753exp 1116 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ((𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)))
7776adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑘𝐴 → ((𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)))
7877rexlimdv 3275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦))
7937, 78mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
80 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑚) = 𝑦 → (𝐹𝑚) = 𝑦)
8180eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑚) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑚))
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑚) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑚)))
8382reximdva 3266 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚)))
8479, 83mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
8584adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
86 simpll 766 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝜑)
87 elunnel1 4112 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅}) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ {∅})
88 elsni 4567 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
8987, 88syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅}) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 = ∅)
9089adantll 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 = ∅)
91 1nn 11645 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = ∅) → 1 ∈ ℕ)
931orcs 872 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
9491a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
953a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ V)
9624, 93, 94, 95fvmptd3 6782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) = ∅)
9796adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝐹‘1) = ∅)
98 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
9998eqcomd 2830 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ∅ = 𝑦)
10099adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ = 𝑦)
10197, 100eqtr2d 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = (𝐹‘1))
102 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (𝐹𝑚) = (𝐹‘1))
103102rspceeqv 3624 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐹‘1)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10492, 101, 103syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10586, 90, 104syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10685, 105pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
107106ralrimiva 3177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
108 dffo3 6859 . . 3 (𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ↔ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∪ {∅}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚)))
10925, 107, 108sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}))
110 animorrl 978 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
1112, 3eqeltrdi 2924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V)
11224fvmpt2 6770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V) → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
113111, 112syldan 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
114113, 2eqtrd 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = ∅)
115114ineq1d 4173 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = (∅ ∩ (𝐹𝑚)))
116 0in 4330 . . . . . . . . . 10 (∅ ∩ (𝐹𝑚)) = ∅
117115, 116syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
118117adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
119118ad4ant24 753 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
120 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑚 = 1))
121 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 − 1) = (𝑚 − 1))
122121eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴))
123122notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴))
124120, 123orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ↔ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)))
125121fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
126124, 125ifbieq2d 4475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
127 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
128 iftrue 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
129128, 3eqeltrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) ∈ V)
130129adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) ∈ V)
13124, 126, 127, 130fvmptd3 6782 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
132128adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
133131, 132eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = ∅)
134133ineq2d 4174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑛) ∩ ∅))
135 in0 4328 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑛) ∩ ∅) = ∅
136134, 135syl6eq 2875 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
137136adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
138137ad5ant25 761 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
139 fvex 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ V
1403, 139ifex 4498 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V
141140, 112mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
142141, 9sylan9eq 2879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
143142adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
1441433adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
14524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))))
146126adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
147 iffalse 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
148147ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
149146, 148eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
150 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
151 fvexd 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ V)
152145, 149, 150, 151fvmptd 6766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
153152adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
1541533adant2 1128 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
155144, 154ineq12d 4175 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
156155ad5ant245 1358 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
15716ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
158 pm2.46 880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → ¬ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
159158notnotrd 135 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
160159adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
161 f1of1 6605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴1-1𝑋)
16211, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:𝐴1-1𝑋)
163 dff14a 7020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴1-1𝑋 ↔ (𝐺:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
164162, 163sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
165164simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
166165adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
167166ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
168157, 160, 167jca31 518 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
169 nncn 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
170169adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
171170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛 ∈ ℂ)
172 nncn 11642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
173172adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
174173ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚 ∈ ℂ)
175 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 1 ∈ ℂ)
176 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
177171, 174, 175, 176subneintr2d 11041 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1))
178177ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1))
179 neeq1 3076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 − 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑛 − 1) ≠ 𝑦))
180 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑛 − 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
181180neeq1d 3073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 − 1) → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦)))
182179, 181imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 − 1) → ((𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)) ↔ ((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦))))
183 neeq2 3077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑚 − 1) → ((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 ↔ (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1)))
184 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑚 − 1) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
185184neeq2d 3074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑚 − 1) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
186183, 185imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑚 − 1) → (((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦)) ↔ ((𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1)))))
187182, 186rspc2va 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))) → ((𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
188168, 178, 187sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1)))
189188neneqd 3019 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
19018ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
19113ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
192159, 191sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
193192ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
194 nnfoctbdjlem.dj . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
195 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
196195disjor 5032 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑋 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
197194, 196sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
198197ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
199 eqeq1 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧))
200 ineq1 4166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → (𝑦𝑧) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧))
201200eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → ((𝑦𝑧) = ∅ ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅))
202199, 201orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → ((𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅) ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅)))
203 eqeq2 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1))))
204 ineq2 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
205204eqeq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅ ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
206203, 205orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅) ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)))
207202, 206rspc2va 3620 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
208190, 193, 198, 207syl21anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
209208adantllr 718 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
210 orel1 886 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
211189, 209, 210sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
212156, 211eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
213138, 212pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
214119, 213pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
215214olcd 871 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
216110, 215pm2.61dane 3101 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
217216ralrimivva 3186 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
218 fveq2 6661 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
219218disjor 5032 . . 3 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
220217, 219sylibr 237 . 2 (𝜑Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛))
221 nnex 11640 . . . . 5 ℕ ∈ V
222221mptex 6977 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))) ∈ V
22324, 222eqeltri 2912 . . 3 𝐹 ∈ V
224 foeq1 6577 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ↔ 𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅})))
225 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓 = 𝐹)
226225fveq1d 6663 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) = (𝐹𝑛))
227226disjeq2dv 5022 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)))
228224, 227anbi12d 633 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) ↔ (𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛))))
229223, 228spcev 3593 . 2 ((𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
230109, 220, 229syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cun 3917  cin 3918  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450  {csn 4550  Disj wdisj 5017   class class class wbr 5052  cmpt 5132  ran crn 5543   Fn wfn 6338  wf 6339  1-1wf1 6340  ontowfo 6341  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cmin 10868  cn 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-rp 12387
This theorem is referenced by:  nnfoctbdj  43025
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