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Theorem nnfoctbdjlem 43974
Description: There exists a mapping from onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdjlem.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
nnfoctbdjlem.g (𝜑𝐺:𝐴1-1-onto𝑋)
nnfoctbdjlem.dj (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
nnfoctbdjlem.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdjlem (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑓,𝐹,𝑛   𝑦,𝐹   𝑛,𝐺,𝑦   𝑓,𝑋,𝑛   𝑦,𝑋   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem nnfoctbdjlem
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4465 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
21adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
3 0ex 5229 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
43snid 4597 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅}
5 elun2 4110 . . . . . . . 8 (∅ ∈ {∅} → ∅ ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 ∅ ∈ (𝑋 ∪ {∅})
72, 6eqeltrdi 2847 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
87adantll 711 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
9 iffalse 4468 . . . . . . 7 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
109adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
11 nnfoctbdjlem.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:𝐴1-1-onto𝑋)
12 f1of 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴𝑋)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:𝐴𝑋)
1413adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝐺:𝐴𝑋)
15 pm2.46 880 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1615notnotrd 133 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
1814, 17ffvelrnd 6954 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
1918adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
20 elun1 4109 . . . . . . 7 ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
2210, 21eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
238, 22pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ (𝑋 ∪ {∅}))
24 nnfoctbdjlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
2523, 24fmptd 6980 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∪ {∅}))
26 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
27 f1ofo 6715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴onto𝑋)
28 forn 6683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:𝐴onto𝑋 → ran 𝐺 = 𝑋)
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝐺 = 𝑋)
3029eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = ran 𝐺)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑋 = ran 𝐺)
3226, 31eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
3313ffnd 6593 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
34 fvelrnb 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦))
3732, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦)
38 nnfoctbdjlem.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3938sselda 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039peano2nnd 12000 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
41403adant3 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))))
43 1red 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
44 1red 10986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ)
4539nnrpd 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ+)
4644, 45ltaddrp2d 12816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 < (𝑘 + 1))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 < (𝑘 + 1))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = (𝑘 + 1) → 𝑛 = (𝑘 + 1))
4948eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑘 + 1) = 𝑛)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑘 + 1) = 𝑛)
5147, 50breqtrd 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 1 < 𝑛)
5243, 51gtned 11120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑛 ≠ 1)
5352neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ 𝑛 = 1)
54 oveq1 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
5539nncnd 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 1cnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5755, 56pncand 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
5854, 57sylan9eqr 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑛 − 1) = 𝑘)
59 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → 𝑘𝐴)
6058, 59eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
6160notnotd 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
62 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ↔ (¬ 𝑛 = 1 ∧ ¬ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴))
6353, 61, 62sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴))
6463iffalsed 4470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
6558fveq2d 6770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺𝑘))
6664, 65eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺𝑘))
6713ffvelrnda 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
6842, 66, 40, 67fvmptd 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐺𝑘))
69683adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐺𝑘))
70 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐺𝑘) = 𝑦)
7169, 70eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦)
72 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7372eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑚) = 𝑦 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦))
7473rspcev 3559 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
7541, 71, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴 ∧ (𝐺𝑘) = 𝑦) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
76753exp 1118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ((𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)))
7776adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑘𝐴 → ((𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)))
7877rexlimdv 3210 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑘𝐴 (𝐺𝑘) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦))
7937, 78mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦)
80 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑚) = 𝑦 → (𝐹𝑚) = 𝑦)
8180eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑚) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑚))
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑚) = 𝑦𝑦 = (𝐹𝑚)))
8382reximdva 3201 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝐹𝑚) = 𝑦 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚)))
8479, 83mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
8584adantlr 712 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ 𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
86 simpll 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝜑)
87 elunnel1 4083 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅}) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ {∅})
88 elsni 4578 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {∅} → 𝑦 = ∅)
8987, 88syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅}) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 = ∅)
9089adantll 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → 𝑦 = ∅)
91 1nn 11994 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
9291a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = ∅) → 1 ∈ ℕ)
931orcs 872 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = ∅)
9491a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
953a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ V)
9624, 93, 94, 95fvmptd3 6890 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘1) = ∅)
9796adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝐹‘1) = ∅)
98 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → 𝑦 = ∅)
9998eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ∅ = 𝑦)
10099adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∅ = 𝑦)
10197, 100eqtr2d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = (𝐹‘1))
102 fveq2 6766 . . . . . . . 8 (𝑚 = 1 → (𝐹𝑚) = (𝐹‘1))
103102rspceeqv 3574 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐹‘1)) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10492, 101, 103syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 = ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10586, 90, 104syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) ∧ ¬ 𝑦𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
10685, 105pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
107106ralrimiva 3108 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚))
108 dffo3 6970 . . 3 (𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ↔ (𝐹:ℕ⟶(𝑋 ∪ {∅}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {∅})∃𝑚 ∈ ℕ 𝑦 = (𝐹𝑚)))
10925, 107, 108sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}))
110 animorrl 978 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
1112, 3eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V)
11224fvmpt2 6878 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V) → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
113111, 112syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
114113, 2eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = ∅)
115114ineq1d 4145 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = (∅ ∩ (𝐹𝑚)))
116 0in 4327 . . . . . . . . . 10 (∅ ∩ (𝐹𝑚)) = ∅
117115, 116eqtrdi 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
118117adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
119118ad4ant24 751 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
120 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 = 1 ↔ 𝑚 = 1))
121 oveq1 7274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 − 1) = (𝑚 − 1))
122121eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ↔ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴))
123122notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴))
124120, 123orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ↔ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)))
125121fveq2d 6770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
126124, 125ifbieq2d 4485 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
127 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
128 iftrue 4465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
129128, 3eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) ∈ V)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) ∈ V)
13124, 126, 127, 130fvmptd3 6890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
132128adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
133131, 132eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = ∅)
134133ineq2d 4146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐹𝑛) ∩ ∅))
135 in0 4325 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑛) ∩ ∅) = ∅
136134, 135eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
137136adantll 711 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
138137ad5ant25 759 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
139 fvex 6779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ V
1403, 139ifex 4509 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) ∈ V
141140, 112mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹𝑛) = if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))))
142141, 9sylan9eq 2798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
143142adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
1441433adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑛) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
14524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))))
146126adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))))
147 iffalse 4468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
148147ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑚 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
149146, 148eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ 𝑛 = 𝑚) → if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1))) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
150 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
151 fvexd 6781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ V)
152145, 149, 150, 151fvmptd 6874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
153152adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
1541533adant2 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
155144, 154ineq12d 4147 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
156155ad5ant245 1360 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
15716ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)
158 pm2.46 880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → ¬ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
159158notnotrd 133 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
160159adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)
161 f1of1 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺:𝐴1-1-onto𝑋𝐺:𝐴1-1𝑋)
16211, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺:𝐴1-1𝑋)
163 dff14a 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:𝐴1-1𝑋 ↔ (𝐺:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
164162, 163sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺:𝐴𝑋 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
165164simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
167166ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)))
168157, 160, 167jca31 515 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))))
169 nncn 11991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
170169adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
171170ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛 ∈ ℂ)
172 nncn 11991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
173172adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
174173ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑚 ∈ ℂ)
175 1cnd 10980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 1 ∈ ℂ)
176 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → 𝑛𝑚)
177171, 174, 175, 176subneintr2d 11388 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1))
178177ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1))
179 neeq1 3006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 − 1) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑛 − 1) ≠ 𝑦))
180 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑛 − 1) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑛 − 1)))
181180neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 − 1) → ((𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦)))
182179, 181imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 − 1) → ((𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦)) ↔ ((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦))))
183 neeq2 3007 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑚 − 1) → ((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 ↔ (𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1)))
184 fveq2 6766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑚 − 1) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
185184neeq2d 3004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑚 − 1) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
186183, 185imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑚 − 1) → (((𝑛 − 1) ≠ 𝑦 → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺𝑦)) ↔ ((𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1)))))
187182, 186rspc2va 3570 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 − 1) ∈ 𝐴 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐺𝑥) ≠ (𝐺𝑦))) → ((𝑛 − 1) ≠ (𝑚 − 1) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
188168, 178, 187sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ≠ (𝐺‘(𝑚 − 1)))
189188neneqd 2948 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)))
19018ad4ant13 748 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋)
19113ffvelrnda 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
192159, 191sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
193192ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋)
194 nnfoctbdjlem.dj . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑Disj 𝑦𝑋 𝑦)
195 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
196195disjor 5053 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑋 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
197194, 196sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
198197ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅))
199 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧))
200 ineq1 4139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → (𝑦𝑧) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧))
201200eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → ((𝑦𝑧) = ∅ ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅))
202199, 201orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑛 − 1)) → ((𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅) ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅)))
203 eqeq2 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ↔ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1))))
204 ineq2 4140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))))
205204eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅ ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
206203, 205orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) = 𝑧 ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ 𝑧) = ∅) ↔ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)))
207202, 206rspc2va 3570 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦 = 𝑧 ∨ (𝑦𝑧) = ∅)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
208190, 193, 198, 207syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
209208adantllr 716 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
210 orel1 886 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) → (((𝐺‘(𝑛 − 1)) = (𝐺‘(𝑚 − 1)) ∨ ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅))
211189, 209, 210sylc 65 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐺‘(𝑛 − 1)) ∩ (𝐺‘(𝑚 − 1))) = ∅)
212156, 211eqtrd 2778 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) ∧ ¬ (𝑚 = 1 ∨ ¬ (𝑚 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
213138, 212pm2.61dan 810 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) ∧ ¬ (𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
214119, 213pm2.61dan 810 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅)
215214olcd 871 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ 𝑛𝑚) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
216110, 215pm2.61dane 3032 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
217216ralrimivva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
218 fveq2 6766 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
219218disjor 5053 . . 3 (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑛 = 𝑚 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑚)) = ∅))
220217, 219sylibr 233 . 2 (𝜑Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛))
221 nnex 11989 . . . . 5 ℕ ∈ V
222221mptex 7091 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if((𝑛 = 1 ∨ ¬ (𝑛 − 1) ∈ 𝐴), ∅, (𝐺‘(𝑛 − 1)))) ∈ V
22324, 222eqeltri 2835 . . 3 𝐹 ∈ V
224 foeq1 6676 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ↔ 𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅})))
225 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝐹𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓 = 𝐹)
226225fveq1d 6768 . . . . 5 ((𝑓 = 𝐹𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) = (𝐹𝑛))
227226disjeq2dv 5043 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) ↔ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)))
228224, 227anbi12d 631 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)) ↔ (𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛))))
229223, 228spcev 3542 . 2 ((𝐹:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝐹𝑛)) → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
230109, 220, 229syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ–onto→(𝑋 ∪ {∅}) ∧ Disj 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3429  cun 3884  cin 3885  wss 3886  c0 4256  ifcif 4459  {csn 4561  Disj wdisj 5038   class class class wbr 5073  cmpt 5156  ran crn 5585   Fn wfn 6421  wf 6422  1-1wf1 6423  ontowfo 6424  1-1-ontowf1o 6425  cfv 6426  (class class class)co 7267  cc 10879  1c1 10882   + caddc 10884   < clt 11019  cmin 11215  cn 11983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-disj 5039  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-rp 12741
This theorem is referenced by:  nnfoctbdj  43975
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