Theorem pthdlem1 28714

Description: Lemma 1 for pthd 28717. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem1	⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wrdf 14407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4		fzo0ss1 13602	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5		pthd.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1))
7	6	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
8	4, 7	sseqtrid 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
9		lencl 14421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
10		nn0z 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
11	1, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
12		fzossrbm1 13601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
14	8, 13	sstrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
15	3, 14	fssresd 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
19	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
20		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
21	20	ltm1d 12087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃))
22		1re 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℝ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25		lttr 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 < (♯‘𝑃)))
26	22, 24, 20, 25	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 < (♯‘𝑃)))
27		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (♯‘𝑃) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
29	27, 20, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
30	26, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
31	21, 30	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
32	31	imdistani 569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
33		elnnnn0c 12458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
34	32, 33	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
35	19, 34	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
36		fzo0sn0fzo1 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))))
38		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39		1p1e2 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
40		2z 12535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
41	39, 40	eqeltri 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) ∈ ℤ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
43	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
44		ltaddsub 11629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) ↔ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)))
45	44	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝑃)))
46	22, 27, 20, 45	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝑃)))
47		2re 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
48	39, 47	eqeltri 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
49		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
50	48, 20, 49	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
51	46, 50	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
52	51	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
53		eluz2 12769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
54	42, 43, 52, 53	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
55	19, 54	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
56		fzosplitsnm1 13647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (1..^(♯‘𝑃)) = ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))
57	38, 55, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1..^(♯‘𝑃)) = ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))
58	57	uneq2d 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})))
59	37, 58	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})))
60	59	raleqdv 3313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))
61		ralunb 4151	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))
62		ralunb 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))
63	62	anbi2i 623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))))
64	61, 63	bitri 274	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))))
65	60, 64	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))))
66	5	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑅
67	66	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^((♯‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
68	67	raleqi 3311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
69		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
70	69	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
74	73	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃‘𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃‘𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
76	72, 75	neeq12d 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
77	76	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
78	77	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
79	78	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
80	79	ralimdva 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
81	68, 80	biimtrid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
82	81	adantrd 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
83	82	adantld 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
84	65, 83	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
85	18, 84	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86		dff14a 7217	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
87	16, 85, 86	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88		df-f1 6501	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
89	87, 88	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
90	89	simprd 496	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91		funcnv0 6567	. . 3 ⊢ Fun ◡∅
92	19	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
93		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
95	94	zred 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96		1red 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97	95, 96	lenltd 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)))
98	97	biimpar 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ 1)
99	5, 98	eqbrtrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100		1zzd 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
101	5, 94	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
102	100, 101	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104		fzon 13593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105	104	bicomd 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
107	99, 106	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108	107	reseq2d 5937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109		res0 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110	108, 109	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111	110	cnveqd 5831	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ◡∅)
112	111	funeqd 6523	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ◡∅))
113	91, 112	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
114	90, 113	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  –1-1→wf1 6493  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13567  ♯chash 14230  Word cword 14402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403

This theorem is referenced by:  pthd  28717