MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem1 29290
Description: Lemma 1 for pthd 29293. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 14473 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4 fzo0ss1 13666 . . . . . . . . 9 (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5 pthd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1))
76oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
84, 7sseqtrid 4033 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
9 lencl 14487 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
10 nn0z 12587 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
12 fzossrbm1 13665 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
148, 13sstrd 3991 . . . . . . 7 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
153, 14fssresd 6757 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
1615adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
1817adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
191, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
2120ltm1d 12150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃))
22 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
23 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) ∈ ℝ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25 lttr 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 < (♯‘𝑃)))
2622, 24, 20, 25mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 < (♯‘𝑃)))
27 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (♯‘𝑃) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
2927, 20, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3026, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3121, 30mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3231imdistani 567 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
33 elnnnn0c 12521 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
3519, 34sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
36 fzo0sn0fzo1 13725 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))))
38 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
40 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
4139, 40eqeltri 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
4310adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
44 ltaddsub 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) ↔ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)))
4544bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝑃)))
4622, 27, 20, 45mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝑃)))
47 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
4839, 47eqeltri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
49 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5048, 20, 49sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5146, 50sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5251imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
53 eluz2 12832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5442, 43, 52, 53syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5519, 54sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
56 fzosplitsnm1 13711 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1..^(♯‘𝑃)) = ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))
5738, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1..^(♯‘𝑃)) = ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))
5857uneq2d 4162 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})))
5937, 58eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})))
6059raleqdv 3323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
61 ralunb 4190 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
62 ralunb 4190 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
6362anbi2i 621 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6461, 63bitri 274 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6560, 64bitrdi 286 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))))
665eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑅
6766oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 (1..^((♯‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
6867raleqi 3321 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
69 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
7069eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73 fvres 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃𝑗))
7473eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7672, 75neeq12d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7877imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
7978ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8079ralimdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8168, 80biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8281adantrd 490 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8382adantld 489 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8465, 83sylbid 239 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8518, 84mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86 dff14a 7271 . . . . 5 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8716, 85, 86sylanbrc 581 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88 df-f1 6547 . . . 4 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
8987, 88sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
9089simprd 494 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91 funcnv0 6613 . . 3 Fun
9219nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
93 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9594zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96 1red 11219 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9795, 96lenltd 11364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)))
9897biimpar 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ 1)
995, 98eqbrtrid 5182 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100 1zzd 12597 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1015, 94eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
102100, 101jca 510 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103102adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104 fzon 13657 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105104bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106103, 105syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
10799, 106mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108107reseq2d 5980 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109 res0 5984 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110108, 109eqtrdi 2786 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111110cnveqd 5874 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
112111funeqd 6569 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ∅))
11391, 112mpbiri 257 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
11490, 113pm2.61dan 809 1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3472  cun 3945  wss 3947  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  ccnv 5674  cres 5677  Fun wfun 6536  wf 6538  1-1wf1 6539  cfv 6542  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  2c2 12271  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  ..^cfzo 13631  chash 14294  Word cword 14468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469
This theorem is referenced by:  pthd  29293
  Copyright terms: Public domain W3C validator