MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdlem1 28756
Description: Lemma 1 for pthd 28759. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pthd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
pthd.r 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
pthd.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
Assertion
Ref Expression
pthdlem1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1
StepHypRef Expression
1 pthd.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 14414 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4 fzo0ss1 13609 . . . . . . . . 9 (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5 pthd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 = ((♯‘𝑃) − 1))
76oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
84, 7sseqtrid 4001 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((♯‘𝑃) − 1)))
9 lencl 14428 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word V → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
10 nn0z 12531 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
111, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
12 fzossrbm1 13608 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
148, 13sstrd 3959 . . . . . . 7 (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(♯‘𝑃)))
153, 14fssresd 6714 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
1615adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17 pthd.s . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
1817adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
191, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
20 nn0re 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℝ)
2120ltm1d 12094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃))
22 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
23 peano2rem 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑃) ∈ ℝ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25 lttr 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 < (♯‘𝑃)))
2622, 24, 20, 25mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 < (♯‘𝑃)))
27 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (♯‘𝑃) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
2927, 20, 28syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3026, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((♯‘𝑃) − 1) ∧ ((♯‘𝑃) − 1) < (♯‘𝑃)) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3121, 30mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3231imdistani 570 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
33 elnnnn0c 12465 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑃)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
3519, 34sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ)
36 fzo0sn0fzo1 13668 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))))
38 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + 1) = 2
40 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
4139, 40eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) ∈ ℤ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
4310adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
44 ltaddsub 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) ↔ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)))
4544bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝑃)))
4622, 27, 20, 45mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (♯‘𝑃)))
47 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
4839, 47eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) ∈ ℝ
49 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5048, 20, 49sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (♯‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5146, 50sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((♯‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5251imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
53 eluz2 12776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
5442, 43, 52, 53syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5519, 54sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
56 fzosplitsnm1 13654 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (1..^(♯‘𝑃)) = ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))
5738, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1..^(♯‘𝑃)) = ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))
5857uneq2d 4128 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(♯‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})))
5937, 58eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (0..^(♯‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})))
6059raleqdv 3316 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
61 ralunb 4156 . . . . . . . . 9 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
62 ralunb 4156 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))
6362anbi2i 624 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6461, 63bitri 275 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((♯‘𝑃) − 1)) ∪ {((♯‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))))
6560, 64bitrdi 287 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))))))
665eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑃) − 1) = 𝑅
6766oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 (1..^((♯‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
6867raleqi 3314 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))
69 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃𝑖))
7069eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7170adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃𝑗))
7473eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
7672, 75neeq12d 3006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
7877imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → (𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
7978ralimdva 3165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8079ralimdva 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8168, 80biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8281adantrd 493 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8382adantld 492 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((♯‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8465, 83sylbid 239 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → (𝑃𝑖) ≠ (𝑃𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8518, 84mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86 dff14a 7222 . . . . 5 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
8716, 85, 86sylanbrc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88 df-f1 6506 . . . 4 ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
8987, 88sylib 217 . . 3 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
9089simprd 497 . 2 ((𝜑 ∧ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91 funcnv0 6572 . . 3 Fun
9219nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
93 peano2zm 12553 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑃) ∈ ℤ → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
9594zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96 1red 11163 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9795, 96lenltd 11308 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)))
9897biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((♯‘𝑃) − 1) ≤ 1)
995, 98eqbrtrid 5145 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100 1zzd 12541 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1015, 94eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
102100, 101jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103102adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104 fzon 13600 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105104bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106103, 105syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
10799, 106mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108107reseq2d 5942 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109 res0 5946 . . . . . 6 (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110108, 109eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111110cnveqd 5836 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
112111funeqd 6528 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → (Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ∅))
11391, 112mpbiri 258 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((♯‘𝑃) − 1)) → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
11490, 113pm2.61dan 812 1 (𝜑 → Fun (𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  Vcvv 3448  cun 3913  wss 3915  c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  ccnv 5637  cres 5640  Fun wfun 6495  wf 6497  1-1wf1 6498  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  cn 12160  2c2 12215  0cn0 12420  cz 12506  cuz 12770  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410
This theorem is referenced by:  pthd  28759
  Copyright terms: Public domain W3C validator