Theorem dff4 7029

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff4	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3 7028	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2		df-br 5087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝐹𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
3		ssel 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
4		opelxp2 5654	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 5	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
7	6	pm4.71rd 562	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
8	7	eubidv 2581	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
9		df-reu 3347	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦))
10	8, 9	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
11	10	ralbidv 3155	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
12	11	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
13	1, 12	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  ∀wral 3047  ∃!wreu 3344   ⊆ wss 3897  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086   × cxp 5609  ⟶wf 6472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  exfo  7033