Theorem dff4 7084

Description: Alternate definition of a mapping. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
dff4	⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dff4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3 7083	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦))
2		df-br 5139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥𝐹𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
3		ssel 3968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
4		opelxp2 5708	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 → 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 5	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑥𝐹𝑦 → 𝑦 ∈ 𝐵))
7	6	pm4.71rd 563	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
8	7	eubidv 2579	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦)))
9		df-reu 3376	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥𝐹𝑦))
10	8, 9	bitr4di 288	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
11	10	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
12	11	pm5.32i 575	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦) ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))
13	1, 12	bitri 274	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝐹𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∃!weu 2561  ∀wral 3060  ∃!wreu 3373   ⊆ wss 3941  ⟨cop 4625   class class class wbr 5138   × cxp 5664  ⟶wf 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4520  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-fv 6537

This theorem is referenced by:  exfo  7088