Theorem dffo3 7101

Description: An onto mapping expressed in terms of function values. (Contributed by NM, 29-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
dffo3	⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem dffo3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo2 6800	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
2		ffn 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fnrnfv 6944	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)})
4	3	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (ran 𝐹 = 𝐵 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} = 𝐵))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (ran 𝐹 = 𝐵 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} = 𝐵))
6		dfbi2 480	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥))))
7		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)) → 𝑦 = (𝐹‘𝑥))
8		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
10	7, 9	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
11	10	rexlimdva2 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))))
13	6, 12	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥))))
14	13	albidv 1953	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥))))
15		eqabcb 2905	. . . . 5 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} = 𝐵 ↔ ∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
16		df-ral 3082	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
17	14, 15, 16	3bitr4g 317	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
18	5, 17	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (ran 𝐹 = 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
19	18	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ran 𝐹 = 𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
20	1, 19	bitri 278	1 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548

This theorem is used by:  dffo4  7102  foelrn  7106  foco2  7108  fcofo  7295  foov  7594  fsetfocdm  8864  resixpfo  8940  fofinf1o  9296  wdom2d  9549  brwdom3  9551  isf32lem9  10360  hsmexlem2  10426  cnref1o  13025  tpfo  14555  wwlktovfo  15019  1arith  17009  fullestrcsetc  18229  fullsetcestrc  18244  orbsta  19427  symgextfo  19536  symgfixfo  19553  pwssplit1  21230  rngqiprngimfo  21491  znf1o  21751  cygznlem3  21769  scmatfo  22737  m2cpmfo  22963  pm2mpfo  23021  recosf1o  26751  efif1olem4  26761  mpodvdsmulf1o  27409  dvdsmulf1o  27411  cutsfo  28149  addsfo  28227  negsfo  28297  subsfo  28309  wlkswwlksf1o  30295  wwlksnextsurj  30316  clwlkclwwlkfo  30427  clwwlkfo  30468  eucrctshift  30665  frgrncvvdeqlem9  30729  numclwwlk1lem2fo  30780  mndlactfo  33411  mndractfo  33413  rankfo  35563  subfacp1lem3  35711  cvmfolem  35808  finixpnum  38313  sticksstones3  42973  wessf1ornlem  45961  projf1o  45972  sumnnodd  46404  dvnprodlem1  46718  fourierdlem54  46932  nnfoctbdjlem  47227  isomenndlem  47302  fsetsnfo  47848  cfsetsnfsetfo  47855  sprsymrelfo  48304  prproropf1o  48314  uspgrsprfo  48971  1arymaptfo  49480  2arymaptfo  49491  rrx2xpref1o  49555  slotresfo  49734  basresposfo  49813  oppff1o  49984  diag1f1o  50369  diag2f1o  50372