Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dford3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dford3 38380
Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtr 5955 . . 3 (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2 ordelord 5963 . . . . 5 ((Ord 𝑁𝑥𝑁) → Ord 𝑥)
3 ordtr 5955 . . . . 5 (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
42, 3syl 17 . . . 4 ((Ord 𝑁𝑥𝑁) → Tr 𝑥)
54ralrimiva 3147 . . 3 (Ord 𝑁 → ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥)
61, 5jca 508 . 2 (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥))
7 simpl 475 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8 dford3lem1 38378 . . . . 5 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥𝑎 Tr 𝑥))
9 dford3lem2 38379 . . . . . 6 ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
109ralimi 3133 . . . . 5 (∀𝑎𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎𝑁 𝑎 ∈ On)
118, 10syl 17 . . . 4 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎𝑁 𝑎 ∈ On)
12 dfss3 3787 . . . 4 (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎𝑁 𝑎 ∈ On)
1311, 12sylibr 226 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14 ordon 7217 . . . 4 Ord On
1514a1i 11 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16 trssord 5958 . . 3 ((Tr 𝑁𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
177, 13, 15, 16syl3anc 1491 . 2 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
186, 17impbii 201 1 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385  wcel 2157  wral 3089  wss 3769  Tr wtr 4945  Ord word 5940  Oncon0 5941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-reg 8739
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947
This theorem is referenced by:  dford4  38381
  Copyright terms: Public domain W3C validator