Theorem dford3 39632

Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3	⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6207	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2		ordelord 6215	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Ord 𝑥)
3		ordtr 6207	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Tr 𝑥)
5	4	ralrimiva 3184	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥)
6	1, 5	jca 514	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))
7		simpl 485	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8		dford3lem1 39630	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥))
9		dford3lem2 39631	. . . . . 6 ⊢ ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
10	9	ralimi 3162	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
12		dfss3 3958	. . . 4 ⊢ (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
13	11, 12	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14		ordon 7500	. . . 4 ⊢ Ord On
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16		trssord 6210	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
18	6, 17	impbii 211	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938  Tr wtr 5174  Ord word 6192  Oncon0 6193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-reg 9058

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197  df-suc 6199

This theorem is referenced by:  dford4  39633