Theorem dford3 43017

Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. Definition 1.2 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3	⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6346	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2		ordelord 6354	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Ord 𝑥)
3		ordtr 6346	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Tr 𝑥)
5	4	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥)
6	1, 5	jca 511	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8		dford3lem1 43015	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥))
9		dford3lem2 43016	. . . . . 6 ⊢ ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
10	9	ralimi 3066	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
12		dfss3 3935	. . . 4 ⊢ (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
13	11, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14		ordon 7753	. . . 4 ⊢ Ord On
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16		trssord 6349	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
18	6, 17	impbii 209	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3914  Tr wtr 5214  Ord word 6331  Oncon0 6332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-reg 9545

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338

This theorem is referenced by:  dford4  43018