Theorem dford3 43934

Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. Definition 1.2 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3	⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6373	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2		ordelord 6381	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Ord 𝑥)
3		ordtr 6373	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Tr 𝑥)
5	4	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥)
6	1, 5	jca 521	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))
7		simpl 488	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8		dford3lem1 43932	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥))
9		dford3lem2 43933	. . . . . 6 ⊢ ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
10	9	ralimi 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
12		dfss3 3920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
13	11, 12	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14		ordon 7782	. . . 4 ⊢ Ord On
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16		trssord 6376	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
18	6, 17	impbii 212	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  Tr wtr 5212  Ord word 6358  Oncon0 6359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-reg 9571

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6362  df-on 6363  df-suc 6365

This theorem is used by:  dford4  43935