Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dford3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dford3 43017
Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. Definition 1.2 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford3 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtr 6400 . . 3 (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2 ordelord 6408 . . . . 5 ((Ord 𝑁𝑥𝑁) → Ord 𝑥)
3 ordtr 6400 . . . . 5 (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
42, 3syl 17 . . . 4 ((Ord 𝑁𝑥𝑁) → Tr 𝑥)
54ralrimiva 3144 . . 3 (Ord 𝑁 → ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥)
61, 5jca 511 . 2 (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥))
7 simpl 482 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8 dford3lem1 43015 . . . . 5 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥𝑎 Tr 𝑥))
9 dford3lem2 43016 . . . . . 6 ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
109ralimi 3081 . . . . 5 (∀𝑎𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎𝑁 𝑎 ∈ On)
118, 10syl 17 . . . 4 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎𝑁 𝑎 ∈ On)
12 dfss3 3984 . . . 4 (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎𝑁 𝑎 ∈ On)
1311, 12sylibr 234 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14 ordon 7796 . . . 4 Ord On
1514a1i 11 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16 trssord 6403 . . 3 ((Tr 𝑁𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
177, 13, 15, 16syl3anc 1370 . 2 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
186, 17impbii 209 1 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥𝑁 Tr 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  Tr wtr 5265  Ord word 6385  Oncon0 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392
This theorem is referenced by:  dford4  43018
  Copyright terms: Public domain W3C validator