Theorem dford3 43473

Description: Ordinals are precisely the hereditarily transitive classes. Definition 1.2 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford3	⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dford3

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6324	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → Tr 𝑁)
2		ordelord 6332	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Ord 𝑥)
3		ordtr 6324	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → Tr 𝑥)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝑁) → Tr 𝑥)
5	4	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (Ord 𝑁 → ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥)
6	1, 5	jca 516	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 → (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))
7		simpl 483	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Tr 𝑁)
8		dford3lem1 43471	. . . . 5 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥))
9		dford3lem2 43472	. . . . . 6 ⊢ ((Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → 𝑎 ∈ On)
10	9	ralimi 3076	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 (Tr 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑎 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
12		dfss3 3904	. . . 4 ⊢ (𝑁 ⊆ On ↔ ∀𝑎 ∈ 𝑁 𝑎 ∈ On)
13	11, 12	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → 𝑁 ⊆ On)
14		ordon 7720	. . . 4 ⊢ Ord On
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord On)
16		trssord 6327	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ 𝑁 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord 𝑁)
17	7, 13, 15, 16	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥) → Ord 𝑁)
18	6, 17	impbii 210	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑁 Tr 𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  Tr wtr 5179  Ord word 6309  Oncon0 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-suc 6316

This theorem is referenced by:  dford4  43474