Theorem ordon 7722

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6340	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7720	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6320	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5205   E cep 5523   We wwe 5576  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  onprc  7723  ssorduni  7724  ordeleqon  7727  ordsson  7728  onint  7735  ordsuci  7753  limon  7778  tfi  7795  ordom  7818  ordtypelem2  9424  hartogs  9449  card2on  9459  tskwe  9862  alephsmo  10012  ondomon  10473  dford3lem2  43269  dford3  43270  tfsconcatlem  43578  iunord  49921