Theorem ordon 7604

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6274	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7603	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6254	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 707	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5187   E cep 5485   We wwe 5534  Ord word 6250  Oncon0 6251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255

This theorem is referenced by:  onprc  7605  ssorduni  7606  ordeleqon  7609  ordsson  7610  onint  7617  suceloni  7635  limon  7658  tfi  7675  ordom  7697  ordtypelem2  9208  hartogs  9233  card2on  9243  tskwe  9639  alephsmo  9789  ondomon  10250  dford3lem2  40765  dford3  40766  iunord  46268