Theorem ordon 7818

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6406	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7816	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6386	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ Ord On

This proof depends on syntax axioms:  Tr wtr 5216   E cep 5555   We wwe 5608  Ord word 6382  Oncon0 6383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-ord 6386  df-on 6387

This theorem is used by:  onprc  7819  ssorduni  7820  ordeleqon  7823  ordsson  7824  onint  7831  ordsuci  7849  limon  7874  tfi  7891  ordom  7914  ordtypelem2  9543  hartogs  9568  card2on  9578  tskwe  10061  alephsmo  10211  ondomon  10677  j00smo  36018  dford3lem2  44238  dford3  44239  tfsconcatlem  44541  iunord  51074