Theorem ordon 7777

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6385	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7775	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6365	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5219   E cep 5562   We wwe 5615  Ord word 6361  Oncon0 6362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is referenced by:  onprc  7778  ssorduni  7779  ordeleqon  7782  ordsson  7783  onint  7790  ordsuci  7808  limon  7833  tfi  7850  ordom  7873  ordtypelem2  9482  hartogs  9507  card2on  9517  tskwe  9937  alephsmo  10087  ondomon  10548  dford3lem2  43737  dford3  43738  tfsconcatlem  44046  iunord  50437