Theorem ordon 7627

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6289	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7625	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6269	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 708	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5191   E cep 5494   We wwe 5543  Ord word 6265  Oncon0 6266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270

This theorem is referenced by:  onprc  7628  ssorduni  7629  ordeleqon  7632  ordsson  7633  onint  7640  sucexeloni  7658  suceloniOLD  7660  limon  7683  tfi  7700  ordom  7722  ordtypelem2  9278  hartogs  9303  card2on  9313  tskwe  9708  alephsmo  9858  ondomon  10319  dford3lem2  40849  dford3  40850  iunord  46382