Theorem ordon 7710

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6329	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7708	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6309	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5198   E cep 5515   We wwe 5568  Ord word 6305  Oncon0 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310

This theorem is referenced by:  onprc  7711  ssorduni  7712  ordeleqon  7715  ordsson  7716  onint  7723  ordsuci  7741  limon  7766  tfi  7783  ordom  7806  ordtypelem2  9405  hartogs  9430  card2on  9440  tskwe  9843  alephsmo  9993  ondomon  10454  dford3lem2  43066  dford3  43067  tfsconcatlem  43375  iunord  49714