Theorem ordon 7780

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6378	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7778	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6358	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ Ord On

This proof depends on syntax axioms:  Tr wtr 5212   E cep 5550   We wwe 5603  Ord word 6354  Oncon0 6355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6358  df-on 6359

This theorem is used by:  onprc  7781  ssorduni  7782  ordeleqon  7785  ordsson  7786  onint  7793  ordsuci  7811  limon  7836  tfi  7853  ordom  7876  ordtypelem2  9497  hartogs  9522  card2on  9532  tskwe  10012  alephsmo  10162  ondomon  10628  dford3lem2  43987  dford3  43988  tfsconcatlem  44296  iunord  50728