Theorem ordon 7263

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6001	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7262	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 5981	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 701	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 4989   E cep 5267   We wwe 5315  Ord word 5977  Oncon0 5978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-ord 5981  df-on 5982

This theorem is referenced by:  onprc  7264  ssorduni  7265  ordeleqon  7268  ordsson  7269  onint  7275  suceloni  7293  limon  7316  tfi  7333  ordom  7354  ordtypelem2  8715  hartogs  8740  card2on  8750  tskwe  9111  alephsmo  9260  ondomon  9722  dford3lem2  38567  dford3  38568  iunord  43541