Theorem ordon 7722

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6338	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7720	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6318	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5193   E cep 5521   We wwe 5574  Ord word 6314  Oncon0 6315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318  df-on 6319

This theorem is referenced by:  onprc  7723  ssorduni  7724  ordeleqon  7727  ordsson  7728  onint  7735  ordsuci  7753  limon  7778  tfi  7795  ordom  7818  ordtypelem2  9425  hartogs  9450  card2on  9460  tskwe  9863  alephsmo  10013  ondomon  10474  dford3lem2  43470  dford3  43471  tfsconcatlem  43779  iunord  50148