Theorem ordon 7724

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6340	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7722	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6320	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5193   E cep 5523   We wwe 5576  Ord word 6316  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  onprc  7725  ssorduni  7726  ordeleqon  7729  ordsson  7730  onint  7737  ordsuci  7755  limon  7780  tfi  7797  ordom  7820  ordtypelem2  9427  hartogs  9452  card2on  9462  tskwe  9865  alephsmo  10015  ondomon  10476  dford3lem2  43473  dford3  43474  tfsconcatlem  43782  iunord  50163