Theorem ordon 7764

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6372	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7762	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6352	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 723	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5211   E cep 5550   We wwe 5603  Ord word 6348  Oncon0 6349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6352  df-on 6353

This theorem is referenced by:  onprc  7765  ssorduni  7766  ordeleqon  7769  ordsson  7770  onint  7777  ordsuci  7795  limon  7820  tfi  7837  ordom  7860  ordtypelem2  9469  hartogs  9494  card2on  9504  tskwe  9924  alephsmo  10074  ondomon  10535  dford3lem2  43611  dford3  43612  tfsconcatlem  43920  iunord  50306