Theorem ordon 7780

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6384	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7778	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6364	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ Ord On

This proof depends on syntax axioms:  Tr wtr 5216   E cep 5558   We wwe 5611  Ord word 6360  Oncon0 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365

This theorem is used by:  onprc  7781  ssorduni  7782  ordeleqon  7785  ordsson  7786  onint  7793  ordsuci  7811  limon  7836  tfi  7853  ordom  7876  ordtypelem2  9495  hartogs  9520  card2on  9530  tskwe  9959  alephsmo  10109  ondomon  10575  dford3lem2  43876  dford3  43877  tfsconcatlem  44185  iunord  50610