Theorem ordon 7717

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6334	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7715	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6314	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5202   E cep 5522   We wwe 5575  Ord word 6310  Oncon0 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315

This theorem is referenced by:  onprc  7718  ssorduni  7719  ordeleqon  7722  ordsson  7723  onint  7730  ordsuci  7748  sucexeloniOLD  7750  limon  7775  tfi  7793  ordom  7816  ordtypelem2  9430  hartogs  9455  card2on  9465  tskwe  9865  alephsmo  10015  ondomon  10476  dford3lem2  43000  dford3  43001  tfsconcatlem  43309  iunord  49662