Theorem ordon 7732

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6348	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7730	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6328	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 712	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5207   E cep 5531   We wwe 5584  Ord word 6324  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  onprc  7733  ssorduni  7734  ordeleqon  7737  ordsson  7738  onint  7745  ordsuci  7763  limon  7788  tfi  7805  ordom  7828  ordtypelem2  9436  hartogs  9461  card2on  9471  tskwe  9874  alephsmo  10024  ondomon  10485  dford3lem2  43381  dford3  43382  tfsconcatlem  43690  iunord  50032