Theorem ordon 7792

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6386	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7790	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6366	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ Ord On

This proof depends on syntax axioms:  Tr wtr 5212   E cep 5550   We wwe 5603  Ord word 6362  Oncon0 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6366  df-on 6367

This theorem is used by:  onprc  7793  ssorduni  7794  ordeleqon  7797  ordsson  7798  onint  7805  ordsuci  7823  limon  7848  tfi  7865  ordom  7888  ordtypelem2  9514  hartogs  9539  card2on  9549  tskwe  10032  alephsmo  10182  ondomon  10648  dford3lem2  44035  dford3  44036  tfsconcatlem  44339  iunord  50785