Theorem ordon 7785

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6390	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7783	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6370	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 724	1 ⊢ Ord On

This proof depends on syntax axioms:  Tr wtr 5223   E cep 5565   We wwe 5618  Ord word 6366  Oncon0 6367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-tr 5224  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-ord 6370  df-on 6371

This theorem is used by:  onprc  7786  ssorduni  7787  ordeleqon  7790  ordsson  7791  onint  7798  ordsuci  7816  limon  7841  tfi  7858  ordom  7881  ordtypelem2  9491  hartogs  9516  card2on  9526  tskwe  9955  alephsmo  10105  ondomon  10565  dford3lem2  43795  dford3  43796  tfsconcatlem  44104  iunord  50495