Theorem ordon 7500

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordon	⊢ Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tron 6216	. 2 ⊢ Tr On
2		epweon 7499	. 2 ⊢ E We On
3		df-ord 6196	. 2 ⊢ (Ord On ↔ (Tr On ∧ E We On))
4	1, 2, 3	mpbir2an 709	1 ⊢ Ord On

Syntax hints:  Tr wtr 5174   E cep 5466   We wwe 5515  Ord word 6192  Oncon0 6193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-ord 6196  df-on 6197

This theorem is referenced by:  onprc  7501  ssorduni  7502  ordeleqon  7505  ordsson  7506  onint  7512  suceloni  7530  limon  7553  tfi  7570  ordom  7591  ordtypelem2  8985  hartogs  9010  card2on  9020  tskwe  9381  alephsmo  9530  ondomon  9987  dford3lem2  39631  dford3  39632  iunord  44786