Theorem dford4 43020

Description: dford3 43019 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford4	⊢ (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑁

Proof of Theorem dford4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dford3 43019	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎))
2		dftr2 5236	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
3		19.3v 1982	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁))
4		ancom 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁))
5	4	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
6	3, 5	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
7	6	2albii 1820	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑎∀𝑏((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
8		alcom 2160	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎∀𝑏((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
9	7, 8	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
10	2, 9	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁))
11		df-ral 3053	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎))
12		dftr2 5236	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr 𝑎 ↔ ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎))
13	12	imbi2i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
14		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑐 𝑎 ∈ 𝑁
15		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ 𝑁
16	14, 15	19.21-2 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
17	13, 16	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
18		impexp 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
19		ancom 460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏))
20	19	anbi2i 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏)))
21		anass 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏)))
22	20, 21	bitr4i 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏))
23	22	imbi1i 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎))
24	18, 23	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎))
25		impexp 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
26	24, 25	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
27	26	2albii 1820	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑐∀𝑏((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
28		alcom 2160	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐∀𝑏((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
29	17, 27, 28	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
30	29	albii 1819	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
31	11, 30	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
32	10, 31	anbi12i 628	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎) ↔ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
33		19.26 1870	. . 3 ⊢ (∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
34	32, 33	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
35		19.26-2 1871	. . . 4 ⊢ (∀𝑏∀𝑐(((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ (∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
36		pm4.76 518	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
37	36	2albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑏∀𝑐(((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
38	35, 37	bitr3i 277	. . 3 ⊢ ((∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
39	38	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
40	1, 34, 39	3bitri 297	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Tr wtr 5234  Ord word 6356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-reg 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-tr 5235  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363

This theorem is referenced by: (None)