Theorem dford4 43816

Description: dford3 43815 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford4	⊢ (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑁

Proof of Theorem dford4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dford3 43815	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎))
2		dftr2 5222	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
3		19.3v 2015	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁))
4		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁))
5	4	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
6	3, 5	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
7	6	2albii 1853	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑎∀𝑏((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
8		alcom 2197	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎∀𝑏((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
9	7, 8	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
10	2, 9	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁))
11		df-ral 3082	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎))
12		dftr2 5222	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr 𝑎 ↔ ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎))
13	12	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
14		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑐 𝑎 ∈ 𝑁
15		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ 𝑁
16	14, 15	19.21-2 2248	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
17	13, 16	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
18		impexp 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
19		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏))
20	19	anbi2i 635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏)))
21		anass 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏)))
22	20, 21	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏))
23	22	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎))
24	18, 23	bitr3i 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎))
25		impexp 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
26	24, 25	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
27	26	2albii 1853	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑐∀𝑏((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
28		alcom 2197	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐∀𝑏((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
29	17, 27, 28	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
30	29	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
31	11, 30	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
32	10, 31	anbi12i 640	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎) ↔ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
33		19.26 1903	. . 3 ⊢ (∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
34	32, 33	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
35		19.26-2 1904	. . . 4 ⊢ (∀𝑏∀𝑐(((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ (∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
36		pm4.76 528	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
37	36	2albii 1853	. . . 4 ⊢ (∀𝑏∀𝑐(((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
38	35, 37	bitr3i 280	. . 3 ⊢ ((∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
39	38	albii 1852	. 2 ⊢ (∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
40	1, 34, 39	3bitri 300	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Tr wtr 5220  Ord word 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-reg 9561

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370

This theorem is used by: (None)