Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dford4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dford4 42450
Description: dford3 42449 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4 (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑁

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 42449 . 2 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎))
2 dftr2 5267 . . . . 5 (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
3 19.3v 1978 . . . . . . . 8 (∀𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁))
4 ancom 460 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑎𝑎𝑁))
54imbi1i 349 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
63, 5bitri 275 . . . . . . 7 (∀𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
762albii 1815 . . . . . 6 (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑎𝑏((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
8 alcom 2149 . . . . . 6 (∀𝑎𝑏((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
97, 8bitri 275 . . . . 5 (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
102, 9bitr4i 278 . . . 4 (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁))
11 df-ral 3059 . . . . 5 (∀𝑎𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎(𝑎𝑁 → Tr 𝑎))
12 dftr2 5267 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑎 ↔ ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎))
1312imbi2i 336 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ (𝑎𝑁 → ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
14 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑎𝑁
15 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑎𝑁
1614, 1519.21-2 2198 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ (𝑎𝑁 → ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
1713, 16bitr4i 278 . . . . . . 7 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
18 impexp 450 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) → 𝑐𝑎) ↔ (𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
19 ancom 460 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑏𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑎𝑐𝑏))
2019anbi2i 622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) ↔ (𝑎𝑁 ∧ (𝑏𝑎𝑐𝑏)))
21 anass 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) ↔ (𝑎𝑁 ∧ (𝑏𝑎𝑐𝑏)))
2220, 21bitr4i 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏))
2322imbi1i 349 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) → 𝑐𝑎) ↔ (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎))
2418, 23bitr3i 277 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎))
25 impexp 450 . . . . . . . . 9 ((((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
2624, 25bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
27262albii 1815 . . . . . . 7 (∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ ∀𝑐𝑏((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
28 alcom 2149 . . . . . . 7 (∀𝑐𝑏((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
2917, 27, 283bitri 297 . . . . . 6 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3029albii 1814 . . . . 5 (∀𝑎(𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3111, 30bitri 275 . . . 4 (∀𝑎𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3210, 31anbi12i 627 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎) ↔ (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
33 19.26 1866 . . 3 (∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3432, 33bitr4i 278 . 2 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
35 19.26-2 1867 . . . 4 (∀𝑏𝑐(((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ (∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
36 pm4.76 518 . . . . 5 ((((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
37362albii 1815 . . . 4 (∀𝑏𝑐(((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3835, 37bitr3i 277 . . 3 ((∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3938albii 1814 . 2 (∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
401, 34, 393bitri 297 1 (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1532  wcel 2099  wral 3058  Tr wtr 5265  Ord word 6368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator