Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dford4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dford4 39022
Description: dford3 39021 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
dford4 (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑁

Proof of Theorem dford4
StepHypRef Expression
1 dford3 39021 . 2 (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎))
2 dftr2 5026 . . . . 5 (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
3 19.3v 1939 . . . . . . . 8 (∀𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁))
4 ancom 453 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑎𝑎𝑁))
54imbi1i 342 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
63, 5bitri 267 . . . . . . 7 (∀𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
762albii 1783 . . . . . 6 (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑎𝑏((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
8 alcom 2095 . . . . . 6 (∀𝑎𝑏((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
97, 8bitri 267 . . . . 5 (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ↔ ∀𝑏𝑎((𝑏𝑎𝑎𝑁) → 𝑏𝑁))
102, 9bitr4i 270 . . . 4 (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁))
11 df-ral 3087 . . . . 5 (∀𝑎𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎(𝑎𝑁 → Tr 𝑎))
12 dftr2 5026 . . . . . . . . 9 (Tr 𝑎 ↔ ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎))
1312imbi2i 328 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ (𝑎𝑁 → ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
14 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑐 𝑎𝑁
15 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑏 𝑎𝑁
1614, 1519.21-2 2138 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ (𝑎𝑁 → ∀𝑐𝑏((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
1713, 16bitr4i 270 . . . . . . 7 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
18 impexp 443 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) → 𝑐𝑎) ↔ (𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)))
19 ancom 453 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑏𝑏𝑎) ↔ (𝑏𝑎𝑐𝑏))
2019anbi2i 613 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) ↔ (𝑎𝑁 ∧ (𝑏𝑎𝑐𝑏)))
21 anass 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) ↔ (𝑎𝑁 ∧ (𝑏𝑎𝑐𝑏)))
2220, 21bitr4i 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏))
2322imbi1i 342 . . . . . . . . . 10 (((𝑎𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑏𝑎)) → 𝑐𝑎) ↔ (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎))
2418, 23bitr3i 269 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ (((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎))
25 impexp 443 . . . . . . . . 9 ((((𝑎𝑁𝑏𝑎) ∧ 𝑐𝑏) → 𝑐𝑎) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
2624, 25bitri 267 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
27262albii 1783 . . . . . . 7 (∀𝑐𝑏(𝑎𝑁 → ((𝑐𝑏𝑏𝑎) → 𝑐𝑎)) ↔ ∀𝑐𝑏((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
28 alcom 2095 . . . . . . 7 (∀𝑐𝑏((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
2917, 27, 283bitri 289 . . . . . 6 ((𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3029albii 1782 . . . . 5 (∀𝑎(𝑎𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3111, 30bitri 267 . . . 4 (∀𝑎𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎)))
3210, 31anbi12i 617 . . 3 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎) ↔ (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
33 19.26 1833 . . 3 (∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ (∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3432, 33bitr4i 270 . 2 ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎𝑁 Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
35 19.26-2 1834 . . . 4 (∀𝑏𝑐(((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ (∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
36 pm4.76 511 . . . . 5 ((((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
37362albii 1783 . . . 4 (∀𝑏𝑐(((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3835, 37bitr3i 269 . . 3 ((∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
3938albii 1782 . 2 (∀𝑎(∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → 𝑏𝑁) ∧ ∀𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑐𝑏𝑐𝑎))) ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
401, 34, 393bitri 289 1 (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎𝑏𝑐((𝑎𝑁𝑏𝑎) → (𝑏𝑁 ∧ (𝑐𝑏𝑐𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wal 1505  wcel 2050  wral 3082  Tr wtr 5024  Ord word 6022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-reg 8845
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-tr 5025  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-ord 6026  df-on 6027  df-suc 6029
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator