Theorem dford4 43682

Description: dford3 43681 expressed in primitives to demonstrate shortness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dford4	⊢ (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))

Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑁

Proof of Theorem dford4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dford3 43681	. 2 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ (Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎))
2		dftr2 5224	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
3		19.3v 2009	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁))
4		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁))
5	4	imbi1i 352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
6	3, 5	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
7	6	2albii 1847	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑎∀𝑏((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
8		alcom 2200	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑎∀𝑏((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
9	7, 8	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ↔ ∀𝑏∀𝑎((𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁))
10	2, 9	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ (Tr 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁))
11		df-ral 3086	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎(𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎))
12		dftr2 5224	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr 𝑎 ↔ ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎))
13	12	imbi2i 339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
14		nfv 1941	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑐 𝑎 ∈ 𝑁
15		nfv 1941	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ 𝑁
16	14, 15	19.21-2 2251	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ∀𝑐∀𝑏((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
17	13, 16	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
18		impexp 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)))
19		ancom 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏))
20	19	anbi2i 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏)))
21		anass 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) ↔ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑏 ∈ 𝑎 ∧ 𝑐 ∈ 𝑏)))
22	20, 21	bitr4i 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏))
23	22	imbi1i 352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎))
24	18, 23	bitr3i 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ (((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎))
25		impexp 455	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ 𝑏) → 𝑐 ∈ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
26	24, 25	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
27	26	2albii 1847	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐∀𝑏(𝑎 ∈ 𝑁 → ((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑐∀𝑏((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
28		alcom 2200	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐∀𝑏((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
29	17, 27, 28	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
30	29	albii 1846	. . . . 5 ⊢ (∀𝑎(𝑎 ∈ 𝑁 → Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
31	11, 30	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎)))
32	10, 31	anbi12i 639	. . 3 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎) ↔ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
33		19.26 1897	. . 3 ⊢ (∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ (∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
34	32, 33	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((Tr 𝑁 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑁 Tr 𝑎) ↔ ∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
35		19.26-2 1898	. . . 4 ⊢ (∀𝑏∀𝑐(((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ (∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
36		pm4.76 527	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
37	36	2albii 1847	. . . 4 ⊢ (∀𝑏∀𝑐(((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
38	35, 37	bitr3i 280	. . 3 ⊢ ((∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
39	38	albii 1846	. 2 ⊢ (∀𝑎(∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))) ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))
40	1, 34, 39	3bitri 300	1 ⊢ (Ord 𝑁 ↔ ∀𝑎∀𝑏∀𝑐((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝑁 ∧ (𝑐 ∈ 𝑏 → 𝑐 ∈ 𝑎))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Tr wtr 5222  Ord word 6360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367

This theorem is referenced by: (None)