Theorem disjxrnres5 38851

Description: Disjoint range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrnres5	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣

Proof of Theorem disjxrnres5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnres2 38456	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) = (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴))
2	1	disjeqi 38839	. 2 ⊢ ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)))
3		xrnrel 38412	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
4		disjres 38848	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ⋉ 𝑆) → ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))
6	2, 5	bitr3i 277	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∀wral 3047   ∩ cin 3896  ∅c0 4282   ↾ cres 5621  Rel wrel 5624  [cec 8626   ⋉ cxrn 38220   Disj wdisjALTV 38262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8630  df-xrn 38410  df-coss 38519  df-cnvrefrel 38625  df-funALTV 38786  df-disjALTV 38809

This theorem is referenced by:  disjsuc  38863