Theorem disjxrnres5 38689

Description: Disjoint range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrnres5	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣

Proof of Theorem disjxrnres5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnres2 38345	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) = (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴))
2	1	disjeqi 38677	. 2 ⊢ ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)))
3		xrnrel 38315	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
4		disjres 38686	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ⋉ 𝑆) → ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))
6	2, 5	bitr3i 277	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1539  ∀wral 3050   ∩ cin 3932  ∅c0 4315   ↾ cres 5669  Rel wrel 5672  [cec 8726   ⋉ cxrn 38122   Disj wdisjALTV 38157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pr 5414

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-br 5126  df-opab 5188  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ec 8730  df-xrn 38313  df-coss 38353  df-cnvrefrel 38469  df-funALTV 38624  df-disjALTV 38647

This theorem is referenced by:  disjsuc  38701