Theorem disjxrnres5 38739

Description: Disjoint range Cartesian product. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
disjxrnres5	⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣

Proof of Theorem disjxrnres5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnres2 38389	. . 3 ⊢ ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) = (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴))
2	1	disjeqi 38727	. 2 ⊢ ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)))
3		xrnrel 38355	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ⋉ 𝑆)
4		disjres 38736	. . 3 ⊢ (Rel (𝑅 ⋉ 𝑆) → ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅)))
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( Disj ((𝑅 ⋉ 𝑆) ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))
6	2, 5	bitr3i 277	1 ⊢ ( Disj (𝑅 ⋉ (𝑆 ↾ 𝐴)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢](𝑅 ⋉ 𝑆) ∩ [𝑣](𝑅 ⋉ 𝑆)) = ∅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∀wral 3044   ∩ cin 3913  ∅c0 4296   ↾ cres 5640  Rel wrel 5643  [cec 8669   ⋉ cxrn 38168   Disj wdisjALTV 38203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ec 8673  df-xrn 38353  df-coss 38402  df-cnvrefrel 38518  df-funALTV 38674  df-disjALTV 38697

This theorem is referenced by:  disjsuc  38751