Theorem dpval 32056

Description: Define the value of the decimal point operator. See df-dp 32055. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dpval	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)

Proof of Theorem dpval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32038	. . 3 ⊢ _𝑥𝑦 = (𝑥 + (𝑦 / ;10))
2		oveq1 7416	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + (𝑦 / ;10)) = (𝐴 + (𝑦 / ;10)))
3	1, 2	eqtrid 2785	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → _𝑥𝑦 = (𝐴 + (𝑦 / ;10)))
4		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 / ;10) = (𝐵 / ;10))
5	4	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑦 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
6		df-dp2 32038	. . 3 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
7	5, 6	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑦 / ;10)) = _𝐴𝐵)
8		df-dp 32055	. 2 ⊢ . = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℝ ↦ _𝑥𝑦)
9	6	ovexi 7443	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ V
10	3, 7, 8, 9	ovmpo 7568	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   / cdiv 11871  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  _cdp2 32037  .cdp 32054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-dp2 32038  df-dp 32055

This theorem is referenced by:  dpcl  32057  dpfrac1  32058  dpval2  32059  dpmul1000  32065  dpadd2  32076