Theorem dpval 32779

Description: Define the value of the decimal point operator. See df-dp 32778. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dpval	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)

Proof of Theorem dpval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32761	. . 3 ⊢ _𝑥𝑦 = (𝑥 + (𝑦 / ;10))
2		oveq1 7435	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + (𝑦 / ;10)) = (𝐴 + (𝑦 / ;10)))
3	1, 2	eqtrid 2781	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → _𝑥𝑦 = (𝐴 + (𝑦 / ;10)))
4		oveq1 7435	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 / ;10) = (𝐵 / ;10))
5	4	oveq2d 7444	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑦 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
6		df-dp2 32761	. . 3 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
7	5, 6	eqtr4di 2787	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑦 / ;10)) = _𝐴𝐵)
8		df-dp 32778	. 2 ⊢ . = (𝑥 ∈ ℕ0, 𝑦 ∈ ℝ ↦ _𝑥𝑦)
9	6	ovexi 7462	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ V
10	3, 7, 8, 9	ovmpo 7589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  (class class class)co 7428  ℝcr 11164  0cc0 11165  1c1 11166   + caddc 11168   / cdiv 11928  ℕ₀cn0 12534  ;cdc 12739  _cdp2 32760  .cdp 32777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pr 5435

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3787  df-dif 3960  df-un 3962  df-ss 3974  df-nul 4334  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-br 5155  df-opab 5217  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fv 6564  df-ov 7431  df-oprab 7432  df-mpo 7433  df-dp2 32761  df-dp 32778

This theorem is referenced by:  dpcl  32780  dpfrac1  32781  dpval2  32782  dpmul1000  32788  dpadd2  32799