![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dpfrac1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 32606 and dpcl 32608. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
dpfrac1 | โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = (;๐ด๐ต / ;10)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dp2 32589 | . 2 โข _๐ด๐ต = (๐ด + (๐ต / ;10)) | |
2 | dpval 32607 | . 2 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = _๐ด๐ต) | |
3 | nn0cn 12506 | . . 3 โข (๐ด โ โ0 โ ๐ด โ โ) | |
4 | recn 11222 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
5 | dfdec10 12704 | . . . . 5 โข ;๐ด๐ต = ((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) | |
6 | 5 | oveq1i 7424 | . . . 4 โข (;๐ด๐ต / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) |
7 | 10re 12720 | . . . . . . . . 9 โข ;10 โ โ | |
8 | 7 | recni 11252 | . . . . . . . 8 โข ;10 โ โ |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ;10 โ โ) |
10 | id 22 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
11 | 9, 10 | mulcld 11258 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (;10 ยท ๐ด) โ โ) |
12 | 10pos 12718 | . . . . . . . . 9 โข 0 < ;10 | |
13 | 7, 12 | gt0ne0ii 11774 | . . . . . . . 8 โข ;10 โ 0 |
14 | 8, 13 | pm3.2i 470 | . . . . . . 7 โข (;10 โ โ โง ;10 โ 0) |
15 | divdir 11921 | . . . . . . 7 โข (((;10 ยท ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ โง (;10 โ โ โง ;10 โ 0)) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10))) | |
16 | 14, 15 | mp3an3 1447 | . . . . . 6 โข (((;10 ยท ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10))) |
17 | 11, 16 | sylan 579 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10))) |
18 | divcan3 11922 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ;10 โ โ โง ;10 โ 0) โ ((;10 ยท ๐ด) / ;10) = ๐ด) | |
19 | 8, 13, 18 | mp3an23 1450 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ((;10 ยท ๐ด) / ;10) = ๐ด) |
20 | 19 | oveq1d 7429 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10)) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
21 | 20 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10)) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
22 | 17, 21 | eqtrd 2768 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
23 | 6, 22 | eqtrid 2780 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (;๐ด๐ต / ;10) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
24 | 3, 4, 23 | syl2an 595 | . 2 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (;๐ด๐ต / ;10) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
25 | 1, 2, 24 | 3eqtr4a 2794 | 1 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = (;๐ด๐ต / ;10)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2936 (class class class)co 7414 โcc 11130 โcr 11131 0cc0 11132 1c1 11133 + caddc 11135 ยท cmul 11137 / cdiv 11895 โ0cn0 12496 ;cdc 12701 _cdp2 32588 .cdp 32605 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 ax-pre-mulgt0 11209 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-sub 11470 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-2 12299 df-3 12300 df-4 12301 df-5 12302 df-6 12303 df-7 12304 df-8 12305 df-9 12306 df-n0 12497 df-dec 12702 df-dp2 32589 df-dp 32606 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |