Theorem dpfrac1 33066

Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 33063 and dpcl 33065. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Proof of Theorem dpfrac1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 33046	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dpval 33064	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
3		nn0cn 12491	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11163	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dfdec10 12691	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
6	5	oveq1i 7406	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10)
7		10re 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8	7	recni 11196	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12		10pos 12709	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < ;10
13	7, 12	gt0ne0ii 11723	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ 0
14	8, 13	pm3.2i 474	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)
15		divdir 11870	. . . . . . 7 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
16	14, 15	mp3an3 1471	. . . . . 6 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
17	11, 16	sylan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
18		divcan3 11871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
19	8, 13, 18	mp3an23 1474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
21	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
22	17, 21	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
23	6, 22	eqtrid 2809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
24	3, 4, 23	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
25	1, 2, 24	3eqtr4a 2823	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   / cdiv 11844  ℕ₀cn0 12481  ;cdc 12688  _cdp2 33045  .cdp 33062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-dec 12689  df-dp2 33046  df-dp 33063

This theorem is referenced by: (None)