Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpfrac1 30690
 Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 30687 and dpcl 30689. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (𝐴𝐵 / 10))

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 30670 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dpval 30688 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵)
3 nn0cn 11944 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 10665 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 dfdec10 12140 . . . . 5 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
65oveq1i 7160 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10)
7 10re 12156 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
87recni 10693 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 10 ∈ ℂ)
10 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 10699 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12 10pos 12154 . . . . . . . . 9 0 < 10
137, 12gt0ne0ii 11214 . . . . . . . 8 10 ≠ 0
148, 13pm3.2i 474 . . . . . . 7 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
15 divdir 11361 . . . . . . 7 (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
1614, 15mp3an3 1447 . . . . . 6 (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
1711, 16sylan 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
18 divcan3 11362 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
198, 13, 18mp3an23 1450 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
2019oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2120adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2217, 21eqtrd 2793 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
236, 22syl5eq 2805 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
243, 4, 23syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
251, 2, 243eqtr4a 2819 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (𝐴𝐵 / 10))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   / cdiv 11335  ℕ0cn0 11934  ;cdc 12137  _cdp2 30669  .cdp 30686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-dec 12138  df-dp2 30670  df-dp 30687 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator