Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpfrac1 32609
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 32606 and dpcl 32608. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = (๐ด๐ต / 10))

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 32589 . 2 ๐ด๐ต = (๐ด + (๐ต / 10))
2 dpval 32607 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = ๐ด๐ต)
3 nn0cn 12506 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 recn 11222 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 dfdec10 12704 . . . . 5 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
65oveq1i 7424 . . . 4 (๐ด๐ต / 10) = (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10)
7 10re 12720 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„
87recni 11252 . . . . . . . 8 10 โˆˆ โ„‚
98a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 10 โˆˆ โ„‚)
10 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
119, 10mulcld 11258 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 10pos 12718 . . . . . . . . 9 0 < 10
137, 12gt0ne0ii 11774 . . . . . . . 8 10 โ‰  0
148, 13pm3.2i 470 . . . . . . 7 (10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0)
15 divdir 11921 . . . . . . 7 (((10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0)) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)))
1614, 15mp3an3 1447 . . . . . 6 (((10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)))
1711, 16sylan 579 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)))
18 divcan3 11922 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0) โ†’ ((10 ยท ๐ด) / 10) = ๐ด)
198, 13, 18mp3an23 1450 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((10 ยท ๐ด) / 10) = ๐ด)
2019oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)) = (๐ด + (๐ต / 10)))
2120adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)) = (๐ด + (๐ต / 10)))
2217, 21eqtrd 2768 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (๐ด + (๐ต / 10)))
236, 22eqtrid 2780 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐ต / 10) = (๐ด + (๐ต / 10)))
243, 4, 23syl2an 595 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด๐ต / 10) = (๐ด + (๐ต / 10)))
251, 2, 243eqtr4a 2794 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = (๐ด๐ต / 10))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   ยท cmul 11137   / cdiv 11895  โ„•0cn0 12496  cdc 12701  cdp2 32588  .cdp 32605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-dec 12702  df-dp2 32589  df-dp 32606
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator