Theorem dpfrac1 32970

Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 32967 and dpcl 32969. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Proof of Theorem dpfrac1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32950	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dpval 32968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
3		nn0cn 12438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11119	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dfdec10 12638	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
6	5	oveq1i 7366	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10)
7		10re 12654	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8	7	recni 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11156	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12		10pos 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < ;10
13	7, 12	gt0ne0ii 11677	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ 0
14	8, 13	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)
15		divdir 11825	. . . . . . 7 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
16	14, 15	mp3an3 1458	. . . . . 6 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
17	11, 16	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
18		divcan3 11826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
19	8, 13, 18	mp3an23 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
22	17, 21	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
23	6, 22	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
24	3, 4, 23	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
25	1, 2, 24	3eqtr4a 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   / cdiv 11798  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  _cdp2 32949  .cdp 32966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-dec 12636  df-dp2 32950  df-dp 32967

This theorem is referenced by: (None)