Theorem dpfrac1 33338

Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 33335 and dpcl 33337. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Proof of Theorem dpfrac1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 33318	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dpval 33336	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
3		nn0cn 12539	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11215	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dfdec10 12740	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
6	5	oveq1i 7424	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10)
7		10re 12760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8	7	recni 11248	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
10		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12		10pos 12758	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < ;10
13	7, 12	gt0ne0ii 11775	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ 0
14	8, 13	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)
15		divdir 11922	. . . . . . 7 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
16	14, 15	mp3an3 1479	. . . . . 6 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
17	11, 16	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
18		divcan3 11923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
19	8, 13, 18	mp3an23 1482	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
22	17, 21	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
23	6, 22	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
24	3, 4, 23	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
25	1, 2, 24	3eqtr4a 2821	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   / cdiv 11896  ℕ₀cn0 12529  ;cdc 12737  _cdp2 33317  .cdp 33334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-dec 12738  df-dp2 33318  df-dp 33335

This theorem is used by: (None)