![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > dpfrac1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 31801 and dpcl 31803. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
dpfrac1 | โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = (;๐ด๐ต / ;10)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dp2 31784 | . 2 โข _๐ด๐ต = (๐ด + (๐ต / ;10)) | |
2 | dpval 31802 | . 2 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = _๐ด๐ต) | |
3 | nn0cn 12431 | . . 3 โข (๐ด โ โ0 โ ๐ด โ โ) | |
4 | recn 11149 | . . 3 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
5 | dfdec10 12629 | . . . . 5 โข ;๐ด๐ต = ((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) | |
6 | 5 | oveq1i 7371 | . . . 4 โข (;๐ด๐ต / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) |
7 | 10re 12645 | . . . . . . . . 9 โข ;10 โ โ | |
8 | 7 | recni 11177 | . . . . . . . 8 โข ;10 โ โ |
9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ;10 โ โ) |
10 | id 22 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
11 | 9, 10 | mulcld 11183 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (;10 ยท ๐ด) โ โ) |
12 | 10pos 12643 | . . . . . . . . 9 โข 0 < ;10 | |
13 | 7, 12 | gt0ne0ii 11699 | . . . . . . . 8 โข ;10 โ 0 |
14 | 8, 13 | pm3.2i 472 | . . . . . . 7 โข (;10 โ โ โง ;10 โ 0) |
15 | divdir 11846 | . . . . . . 7 โข (((;10 ยท ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ โง (;10 โ โ โง ;10 โ 0)) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10))) | |
16 | 14, 15 | mp3an3 1451 | . . . . . 6 โข (((;10 ยท ๐ด) โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10))) |
17 | 11, 16 | sylan 581 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10))) |
18 | divcan3 11847 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ;10 โ โ โง ;10 โ 0) โ ((;10 ยท ๐ด) / ;10) = ๐ด) | |
19 | 8, 13, 18 | mp3an23 1454 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ((;10 ยท ๐ด) / ;10) = ๐ด) |
20 | 19 | oveq1d 7376 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10)) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
21 | 20 | adantr 482 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) / ;10) + (๐ต / ;10)) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
22 | 17, 21 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((;10 ยท ๐ด) + ๐ต) / ;10) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
23 | 6, 22 | eqtrid 2785 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (;๐ด๐ต / ;10) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
24 | 3, 4, 23 | syl2an 597 | . 2 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (;๐ด๐ต / ;10) = (๐ด + (๐ต / ;10))) |
25 | 1, 2, 24 | 3eqtr4a 2799 | 1 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ด.๐ต) = (;๐ด๐ต / ;10)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 (class class class)co 7361 โcc 11057 โcr 11058 0cc0 11059 1c1 11060 + caddc 11062 ยท cmul 11064 / cdiv 11820 โ0cn0 12421 ;cdc 12626 _cdp2 31783 .cdp 31800 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-dec 12627 df-dp2 31784 df-dp 31801 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |