Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpfrac1 31804
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 31801 and dpcl 31803. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = (๐ด๐ต / 10))

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 31784 . 2 ๐ด๐ต = (๐ด + (๐ต / 10))
2 dpval 31802 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = ๐ด๐ต)
3 nn0cn 12431 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 recn 11149 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 dfdec10 12629 . . . . 5 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
65oveq1i 7371 . . . 4 (๐ด๐ต / 10) = (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10)
7 10re 12645 . . . . . . . . 9 10 โˆˆ โ„
87recni 11177 . . . . . . . 8 10 โˆˆ โ„‚
98a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 10 โˆˆ โ„‚)
10 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
119, 10mulcld 11183 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 10pos 12643 . . . . . . . . 9 0 < 10
137, 12gt0ne0ii 11699 . . . . . . . 8 10 โ‰  0
148, 13pm3.2i 472 . . . . . . 7 (10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0)
15 divdir 11846 . . . . . . 7 (((10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0)) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)))
1614, 15mp3an3 1451 . . . . . 6 (((10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)))
1711, 16sylan 581 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)))
18 divcan3 11847 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โˆˆ โ„‚ โˆง 10 โ‰  0) โ†’ ((10 ยท ๐ด) / 10) = ๐ด)
198, 13, 18mp3an23 1454 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((10 ยท ๐ด) / 10) = ๐ด)
2019oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)) = (๐ด + (๐ต / 10)))
2120adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) / 10) + (๐ต / 10)) = (๐ด + (๐ต / 10)))
2217, 21eqtrd 2773 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((10 ยท ๐ด) + ๐ต) / 10) = (๐ด + (๐ต / 10)))
236, 22eqtrid 2785 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐ต / 10) = (๐ด + (๐ต / 10)))
243, 4, 23syl2an 597 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด๐ต / 10) = (๐ด + (๐ต / 10)))
251, 2, 243eqtr4a 2799 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด.๐ต) = (๐ด๐ต / 10))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   / cdiv 11820  โ„•0cn0 12421  cdc 12626  cdp2 31783  .cdp 31800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-dec 12627  df-dp2 31784  df-dp 31801
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator