Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpfrac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpfrac1 32874
Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 32871 and dpcl 32873. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dpfrac1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (𝐴𝐵 / 10))

Proof of Theorem dpfrac1
StepHypRef Expression
1 df-dp2 32854 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dpval 32872 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵)
3 nn0cn 12536 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
4 recn 11245 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 dfdec10 12736 . . . . 5 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
65oveq1i 7441 . . . 4 (𝐴𝐵 / 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10)
7 10re 12752 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
87recni 11275 . . . . . . . 8 10 ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 10 ∈ ℂ)
10 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
119, 10mulcld 11281 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12 10pos 12750 . . . . . . . . 9 0 < 10
137, 12gt0ne0ii 11799 . . . . . . . 8 10 ≠ 0
148, 13pm3.2i 470 . . . . . . 7 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
15 divdir 11947 . . . . . . 7 (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
1614, 15mp3an3 1452 . . . . . 6 (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
1711, 16sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
18 divcan3 11948 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
198, 13, 18mp3an23 1455 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
2019oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
2217, 21eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
236, 22eqtrid 2789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
243, 4, 23syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
251, 2, 243eqtr4a 2803 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (𝐴𝐵 / 10))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  0cn0 12526  cdc 12733  cdp2 32853  .cdp 32870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-dec 12734  df-dp2 32854  df-dp 32871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator