Theorem dpfrac1 32785

Description: Prove a simple equivalence involving the decimal point. See df-dp 32782 and dpcl 32784. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Proof of Theorem dpfrac1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dp2 32765	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
2		dpval 32783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
3		nn0cn 12428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11134	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dfdec10 12628	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
6	5	oveq1i 7379	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 / ;10) = (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10)
7		10re 12644	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ∈ ℝ
8	7	recni 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ;10 ∈ ℂ)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	9, 10	mulcld 11170	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (;10 · 𝐴) ∈ ℂ)
12		10pos 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < ;10
13	7, 12	gt0ne0ii 11690	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ 0
14	8, 13	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)
15		divdir 11838	. . . . . . 7 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0)) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
16	14, 15	mp3an3 1452	. . . . . 6 ⊢ (((;10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
17	11, 16	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)))
18		divcan3 11839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ;10 ∈ ℂ ∧ ;10 ≠ 0) → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
19	8, 13, 18	mp3an23 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((;10 · 𝐴) / ;10) = 𝐴)
20	19	oveq1d 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) / ;10) + (𝐵 / ;10)) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
22	17, 21	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((;10 · 𝐴) + 𝐵) / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
23	6, 22	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
24	3, 4, 23	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (;𝐴𝐵 / ;10) = (𝐴 + (𝐵 / ;10)))
25	1, 2, 24	3eqtr4a 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / ;10))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   / cdiv 11811  ℕ₀cn0 12418  ;cdc 12625  _cdp2 32764  .cdp 32781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-dec 12626  df-dp2 32765  df-dp 32782

This theorem is referenced by: (None)