Theorem dpadd2 33210

Description: Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpadd2.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpadd2.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dpadd2.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpadd2.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dpadd2.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd2.f	⊢ 𝐹 ∈ ℝ+
dpadd2.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd2.h	⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd2.i	⊢ (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
dpadd2.1	⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dpadd2	⊢ ((𝐺._𝐴𝐵) + (𝐻._𝐶𝐷)) = (𝐼._𝐸𝐹)

Proof of Theorem dpadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpadd2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
2		dpadd2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		dpadd2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
5		rpre 13026	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7		dp2cl 33180	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → _𝐴𝐵 ∈ ℝ)
8	3, 6, 7	mp2an 704	. . . 4 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ
9	1, 8	dpval2 33193	. . 3 ⊢ (𝐺._𝐴𝐵) = (𝐺 + (_𝐴𝐵 / ;10))
10		dpadd2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
11		dpadd2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
13		dpadd2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
14		rpre 13026	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
16		dp2cl 33180	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → _𝐶𝐷 ∈ ℝ)
17	12, 15, 16	mp2an 704	. . . 4 ⊢ _𝐶𝐷 ∈ ℝ
18	10, 17	dpval2 33193	. . 3 ⊢ (𝐻._𝐶𝐷) = (𝐻 + (_𝐶𝐷 / ;10))
19	9, 18	oveq12i 7424	. 2 ⊢ ((𝐺._𝐴𝐵) + (𝐻._𝐶𝐷)) = ((𝐺 + (_𝐴𝐵 / ;10)) + (𝐻 + (_𝐶𝐷 / ;10)))
20	1	nn0cni 12517	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
21	8	recni 11224	. . . 4 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℂ
22		10nn 12732	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
23	22	nncni 12244	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
24	22	nnne0i 12277	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
25	21, 23, 24	divcli 11958	. . 3 ⊢ (_𝐴𝐵 / ;10) ∈ ℂ
26	10	nn0cni 12517	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
27	17	recni 11224	. . . 4 ⊢ _𝐶𝐷 ∈ ℂ
28	27, 23, 24	divcli 11958	. . 3 ⊢ (_𝐶𝐷 / ;10) ∈ ℂ
29	20, 25, 26, 28	add4i 11436	. 2 ⊢ ((𝐺 + (_𝐴𝐵 / ;10)) + (𝐻 + (_𝐶𝐷 / ;10))) = ((𝐺 + 𝐻) + ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10)))
30		dpadd2.i	. . . 4 ⊢ (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
31	21, 27, 23, 24	divdiri 11973	. . . . 5 ⊢ ((_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷) / ;10) = ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10))
32		dpadd2.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
33		dpval 33190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
34	2, 6, 33	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵
35		dpval 33190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷)
36	11, 15, 35	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷
37	34, 36	oveq12i 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷)
38		dpadd2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
39		dpadd2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ+
40		rpre 13026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
42		dpval 33190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐸.𝐹) = _𝐸𝐹)
43	38, 41, 42	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸.𝐹) = _𝐸𝐹
44	32, 37, 43	3eqtr3i 2794	. . . . . 6 ⊢ (_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷) = _𝐸𝐹
45	44	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷) / ;10) = (_𝐸𝐹 / ;10)
46	31, 45	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10)) = (_𝐸𝐹 / ;10)
47	30, 46	oveq12i 7424	. . 3 ⊢ ((𝐺 + 𝐻) + ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10))) = (𝐼 + (_𝐸𝐹 / ;10))
48	1, 10	nn0addcli 12542	. . . . 5 ⊢ (𝐺 + 𝐻) ∈ ℕ0
49	30, 48	eqeltrri 2860	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
50	38	nn0rei 12516	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℝ
51		dp2cl 33180	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → _𝐸𝐹 ∈ ℝ)
52	50, 41, 51	mp2an 704	. . . 4 ⊢ _𝐸𝐹 ∈ ℝ
53	49, 52	dpval2 33193	. . 3 ⊢ (𝐼._𝐸𝐹) = (𝐼 + (_𝐸𝐹 / ;10))
54	47, 53	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ ((𝐺 + 𝐻) + ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10))) = (𝐼._𝐸𝐹)
55	19, 29, 54	3eqtri 2790	1 ⊢ ((𝐺._𝐴𝐵) + (𝐻._𝐶𝐷)) = (𝐼._𝐸𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   / cdiv 11872  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ℝ⁺crp 13017  _cdp2 33171  .cdp 33188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-dec 12713  df-rp 13018  df-dp2 33172  df-dp 33189

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  35016