Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd2 31808
Description: Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpadd2.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpadd2.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpadd2.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpadd2.d 𝐷 ∈ ℝ+
dpadd2.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd2.f 𝐹 ∈ ℝ+
dpadd2.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd2.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd2.i (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
dpadd2.1 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
Assertion
Ref Expression
dpadd2 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = (𝐼.𝐸𝐹)

Proof of Theorem dpadd2
StepHypRef Expression
1 dpadd2.g . . . 4 𝐺 ∈ ℕ0
2 dpadd2.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0rei 12431 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ
4 dpadd2.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
5 rpre 12930 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
7 dp2cl 31778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
83, 6, 7mp2an 691 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℝ
91, 8dpval2 31791 . . 3 (𝐺.𝐴𝐵) = (𝐺 + (𝐴𝐵 / 10))
10 dpadd2.h . . . 4 𝐻 ∈ ℕ0
11 dpadd2.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0rei 12431 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
13 dpadd2.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
14 rpre 12930 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
16 dp2cl 31778 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶𝐷 ∈ ℝ)
1712, 15, 16mp2an 691 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℝ
1810, 17dpval2 31791 . . 3 (𝐻.𝐶𝐷) = (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10))
199, 18oveq12i 7374 . 2 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = ((𝐺 + (𝐴𝐵 / 10)) + (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10)))
201nn0cni 12432 . . 3 𝐺 ∈ ℂ
218recni 11176 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℂ
22 10nn 12641 . . . . 5 10 ∈ ℕ
2322nncni 12170 . . . 4 10 ∈ ℂ
2422nnne0i 12200 . . . 4 10 ≠ 0
2521, 23, 24divcli 11904 . . 3 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
2610nn0cni 12432 . . 3 𝐻 ∈ ℂ
2717recni 11176 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
2827, 23, 24divcli 11904 . . 3 (𝐶𝐷 / 10) ∈ ℂ
2920, 25, 26, 28add4i 11386 . 2 ((𝐺 + (𝐴𝐵 / 10)) + (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10))) = ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)))
30 dpadd2.i . . . 4 (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
3121, 27, 23, 24divdiri 11919 . . . . 5 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))
32 dpadd2.1 . . . . . . 7 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
33 dpval 31788 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵)
342, 6, 33mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
35 dpval 31788 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷)
3611, 15, 35mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷
3734, 36oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)
38 dpadd2.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
39 dpadd2.f . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℝ+
40 rpre 12930 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℝ
42 dpval 31788 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ) → (𝐸.𝐹) = 𝐸𝐹)
4338, 41, 42mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐸.𝐹) = 𝐸𝐹
4432, 37, 433eqtr3i 2773 . . . . . 6 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
4544oveq1i 7372 . . . . 5 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = (𝐸𝐹 / 10)
4631, 45eqtr3i 2767 . . . 4 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = (𝐸𝐹 / 10)
4730, 46oveq12i 7374 . . 3 ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))) = (𝐼 + (𝐸𝐹 / 10))
481, 10nn0addcli 12457 . . . . 5 (𝐺 + 𝐻) ∈ ℕ0
4930, 48eqeltrri 2835 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
5038nn0rei 12431 . . . . 5 𝐸 ∈ ℝ
51 dp2cl 31778 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
5250, 41, 51mp2an 691 . . . 4 𝐸𝐹 ∈ ℝ
5349, 52dpval2 31791 . . 3 (𝐼.𝐸𝐹) = (𝐼 + (𝐸𝐹 / 10))
5447, 53eqtr4i 2768 . 2 ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))) = (𝐼.𝐸𝐹)
5519, 29, 543eqtri 2769 1 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = (𝐼.𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   / cdiv 11819  0cn0 12420  cdc 12625  +crp 12922  cdp2 31769  .cdp 31786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-dec 12626  df-rp 12923  df-dp2 31770  df-dp 31787
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  33301
  Copyright terms: Public domain W3C validator