Theorem dpadd2 33137

Description: Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpadd2.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dpadd2.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dpadd2.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
dpadd2.d	⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
dpadd2.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd2.f	⊢ 𝐹 ∈ ℝ+
dpadd2.g	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd2.h	⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd2.i	⊢ (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
dpadd2.1	⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dpadd2	⊢ ((𝐺._𝐴𝐵) + (𝐻._𝐶𝐷)) = (𝐼._𝐸𝐹)

Proof of Theorem dpadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpadd2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
2		dpadd2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12503	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		dpadd2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
5		rpre 13013	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
7		dp2cl 33107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → _𝐴𝐵 ∈ ℝ)
8	3, 6, 7	mp2an 704	. . . 4 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℝ
9	1, 8	dpval2 33120	. . 3 ⊢ (𝐺._𝐴𝐵) = (𝐺 + (_𝐴𝐵 / ;10))
10		dpadd2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ ℕ0
11		dpadd2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
12	11	nn0rei 12503	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
13		dpadd2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ+
14		rpre 13013	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝐷 ∈ ℝ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
16		dp2cl 33107	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → _𝐶𝐷 ∈ ℝ)
17	12, 15, 16	mp2an 704	. . . 4 ⊢ _𝐶𝐷 ∈ ℝ
18	10, 17	dpval2 33120	. . 3 ⊢ (𝐻._𝐶𝐷) = (𝐻 + (_𝐶𝐷 / ;10))
19	9, 18	oveq12i 7412	. 2 ⊢ ((𝐺._𝐴𝐵) + (𝐻._𝐶𝐷)) = ((𝐺 + (_𝐴𝐵 / ;10)) + (𝐻 + (_𝐶𝐷 / ;10)))
20	1	nn0cni 12504	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℂ
21	8	recni 11211	. . . 4 ⊢ _𝐴𝐵 ∈ ℂ
22		10nn 12719	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
23	22	nncni 12231	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
24	22	nnne0i 12264	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ 0
25	21, 23, 24	divcli 11945	. . 3 ⊢ (_𝐴𝐵 / ;10) ∈ ℂ
26	10	nn0cni 12504	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ ℂ
27	17	recni 11211	. . . 4 ⊢ _𝐶𝐷 ∈ ℂ
28	27, 23, 24	divcli 11945	. . 3 ⊢ (_𝐶𝐷 / ;10) ∈ ℂ
29	20, 25, 26, 28	add4i 11423	. 2 ⊢ ((𝐺 + (_𝐴𝐵 / ;10)) + (𝐻 + (_𝐶𝐷 / ;10))) = ((𝐺 + 𝐻) + ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10)))
30		dpadd2.i	. . . 4 ⊢ (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
31	21, 27, 23, 24	divdiri 11960	. . . . 5 ⊢ ((_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷) / ;10) = ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10))
32		dpadd2.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
33		dpval 33117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
34	2, 6, 33	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵
35		dpval 33117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷)
36	11, 15, 35	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶.𝐷) = _𝐶𝐷
37	34, 36	oveq12i 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷)
38		dpadd2.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
39		dpadd2.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ+
40		rpre 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ ℝ)
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ ℝ
42		dpval 33117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐸.𝐹) = _𝐸𝐹)
43	38, 41, 42	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸.𝐹) = _𝐸𝐹
44	32, 37, 43	3eqtr3i 2796	. . . . . 6 ⊢ (_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷) = _𝐸𝐹
45	44	oveq1i 7410	. . . . 5 ⊢ ((_𝐴𝐵 + _𝐶𝐷) / ;10) = (_𝐸𝐹 / ;10)
46	31, 45	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10)) = (_𝐸𝐹 / ;10)
47	30, 46	oveq12i 7412	. . 3 ⊢ ((𝐺 + 𝐻) + ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10))) = (𝐼 + (_𝐸𝐹 / ;10))
48	1, 10	nn0addcli 12529	. . . . 5 ⊢ (𝐺 + 𝐻) ∈ ℕ0
49	30, 48	eqeltrri 2862	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
50	38	nn0rei 12503	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ ℝ
51		dp2cl 33107	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → _𝐸𝐹 ∈ ℝ)
52	50, 41, 51	mp2an 704	. . . 4 ⊢ _𝐸𝐹 ∈ ℝ
53	49, 52	dpval2 33120	. . 3 ⊢ (𝐼._𝐸𝐹) = (𝐼 + (_𝐸𝐹 / ;10))
54	47, 53	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ ((𝐺 + 𝐻) + ((_𝐴𝐵 / ;10) + (_𝐶𝐷 / ;10))) = (𝐼._𝐸𝐹)
55	19, 29, 54	3eqtri 2792	1 ⊢ ((𝐺._𝐴𝐵) + (𝐻._𝐶𝐷)) = (𝐼._𝐸𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   / cdiv 11859  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699  ℝ⁺crp 13004  _cdp2 33098  .cdp 33115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-dec 12700  df-rp 13005  df-dp2 33099  df-dp 33116

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  34947