HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnssadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnssadj 31842
Description: Every continuous linear Hilbert space operator has an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnssadj (LinOp โˆฉ ContOp) โІ dom adjโ„Ž

Proof of Theorem cnlnssadj
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ก ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadj 31841 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)))
2 df-rex 3065 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆƒ๐‘ก(๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))))
31, 2sylib 217 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ โˆƒ๐‘ก(๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))))
4 inss1 4223 . . . . . . . . . 10 (LinOp โˆฉ ContOp) โІ LinOp
54sseli 3973 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ LinOp)
6 lnopf 31621 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
87a1d 25 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
94sseli 3973 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ก โˆˆ LinOp)
10 lnopf 31621 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ (๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹))
1312adantrd 491 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹))
14 eqcom 2733 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
1514biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
16152ralimi 3117 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
17 adjsym 31595 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
1811, 7, 17syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
1916, 18imbitrid 243 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
2019expimpd 453 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
218, 13, 203jcad 1126 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))))
22 dfadj2 31647 . . . . . . . 8 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))}
2322eleq2i 2819 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))})
24 vex 3472 . . . . . . . 8 ๐‘ฆ โˆˆ V
25 vex 3472 . . . . . . . 8 ๐‘ก โˆˆ V
26 feq1 6692 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
27 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ขโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฆโ€˜๐‘ง))
2827oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)))
2928eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
30292ralbidv 3212 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
3126, 303anbi13d 1434 . . . . . . . 8 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)) โ†” (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))))
32 feq1 6692 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹))
33 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘กโ€˜๐‘ฅ))
3433oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
3534eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
36352ralbidv 3212 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
3732, 363anbi23d 1435 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)) โ†” (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))))
3824, 25, 31, 37opelopab 5535 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))} โ†” (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
3923, 38bitr2i 276 . . . . . 6 ((๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)) โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4021, 39imbitrdi 250 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž))
4140eximdv 1912 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ (โˆƒ๐‘ก(๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘กโŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž))
423, 41mpd 15 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ โˆƒ๐‘กโŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4324eldm2 5895 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘กโŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4442, 43sylibr 233 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ dom adjโ„Ž)
4544ssriv 3981 1 (LinOp โˆฉ ContOp) โІ dom adjโ„Ž
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โŸจcop 4629  {copab 5203  dom cdm 5669  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ„‹chba 30681   ยทih csp 30684  ContOpccop 30708  LinOpclo 30709  adjโ„Žcado 30717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-t1 23173  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-h0op 31510  df-nmop 31601  df-cnop 31602  df-lnop 31603  df-unop 31605  df-hmop 31606  df-nmfn 31607  df-nlfn 31608  df-cnfn 31609  df-lnfn 31610  df-adjh 31611
This theorem is referenced by:  bdopssadj  31843
  Copyright terms: Public domain W3C validator