HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnssadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnssadj 31934
Description: Every continuous linear Hilbert space operator has an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnssadj (LinOp โˆฉ ContOp) โІ dom adjโ„Ž

Proof of Theorem cnlnssadj
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ก ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadj 31933 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)))
2 df-rex 3061 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” โˆƒ๐‘ก(๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))))
31, 2sylib 217 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ โˆƒ๐‘ก(๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))))
4 inss1 4223 . . . . . . . . . 10 (LinOp โˆฉ ContOp) โІ LinOp
54sseli 3968 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ LinOp)
6 lnopf 31713 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
87a1d 25 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
94sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ก โˆˆ LinOp)
10 lnopf 31713 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ (๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹))
1312adantrd 490 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹))
14 eqcom 2732 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
1514biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
16152ralimi 3113 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
17 adjsym 31687 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
1811, 7, 17syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
1916, 18imbitrid 243 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง ๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp)) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
2019expimpd 452 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
218, 13, 203jcad 1126 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))))
22 dfadj2 31739 . . . . . . . 8 adjโ„Ž = {โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))}
2322eleq2i 2817 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))})
24 vex 3467 . . . . . . . 8 ๐‘ฆ โˆˆ V
25 vex 3467 . . . . . . . 8 ๐‘ก โˆˆ V
26 feq1 6698 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹))
27 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ขโ€˜๐‘ง) = (๐‘ฆโ€˜๐‘ง))
2827oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)))
2928eqeq1d 2727 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
30292ralbidv 3209 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
3126, 303anbi13d 1434 . . . . . . . 8 (๐‘ข = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)) โ†” (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))))
32 feq1 6698 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹))
33 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ (๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘กโ€˜๐‘ฅ))
3433oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))
3534eqeq2d 2736 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
36352ralbidv 3209 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
3732, 363anbi23d 1435 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘ก โ†’ ((๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)) โ†” (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))))
3824, 25, 31, 37opelopab 5538 . . . . . . 7 (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ {โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ โˆฃ (๐‘ข: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฃ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ขโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฃโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง))} โ†” (๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)))
3923, 38bitr2i 275 . . . . . 6 ((๐‘ฆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ก: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih (๐‘ฆโ€˜๐‘ง)) = ((๐‘กโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง)) โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4021, 39imbitrdi 250 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž))
4140eximdv 1912 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ (โˆƒ๐‘ก(๐‘ก โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทih (๐‘กโ€˜๐‘ง))) โ†’ โˆƒ๐‘กโŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž))
423, 41mpd 15 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ โˆƒ๐‘กโŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4324eldm2 5898 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ dom adjโ„Ž โ†” โˆƒ๐‘กโŸจ๐‘ฆ, ๐‘กโŸฉ โˆˆ adjโ„Ž)
4442, 43sylibr 233 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ (LinOp โˆฉ ContOp) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ dom adjโ„Ž)
4544ssriv 3976 1 (LinOp โˆฉ ContOp) โІ dom adjโ„Ž
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060   โˆฉ cin 3938   โІ wss 3939  โŸจcop 4630  {copab 5205  dom cdm 5672  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โ„‹chba 30773   ยทih csp 30776  ContOpccop 30800  LinOpclo 30801  adjโ„Žcado 30809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218  ax-hilex 30853  ax-hfvadd 30854  ax-hvcom 30855  ax-hvass 30856  ax-hv0cl 30857  ax-hvaddid 30858  ax-hfvmul 30859  ax-hvmulid 30860  ax-hvmulass 30861  ax-hvdistr1 30862  ax-hvdistr2 30863  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his1 30936  ax-his2 30937  ax-his3 30938  ax-his4 30939  ax-hcompl 31056
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-lm 23151  df-t1 23236  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cfil 25201  df-cau 25202  df-cmet 25203  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-dip 30555  df-ssp 30576  df-ph 30667  df-cbn 30717  df-hnorm 30822  df-hba 30823  df-hvsub 30825  df-hlim 30826  df-hcau 30827  df-sh 31061  df-ch 31075  df-oc 31106  df-ch0 31107  df-shs 31162  df-pjh 31249  df-h0op 31602  df-nmop 31693  df-cnop 31694  df-lnop 31695  df-unop 31697  df-hmop 31698  df-nmfn 31699  df-nlfn 31700  df-cnfn 31701  df-lnfn 31702  df-adjh 31703
This theorem is referenced by:  bdopssadj  31935
  Copyright terms: Public domain W3C validator