Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frrlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrlem10 32380
Description: Lemma for founded recursion. The union of all acceptable functions is a function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.) (Revised by Scott Fenton, 23-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frrlem10.1 𝑅 Fr 𝐴
frrlem10.2 𝑅 Se 𝐴
frrlem10.3 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
frrlem10.4 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrlem10 Fun 𝐹
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem frrlem10
StepHypRef Expression
1 ssid 3841 . . 3 𝐵𝐵
2 frrlem10.1 . . . 4 𝑅 Fr 𝐴
3 frrlem10.2 . . . 4 𝑅 Se 𝐴
4 frrlem10.3 . . . 4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
52, 3, 4frrlem5c 32375 . . 3 (𝐵𝐵 → Fun 𝐵)
61, 5ax-mp 5 . 2 Fun 𝐵
7 df-frecs 32365 . . . 4 frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
8 frrlem10.4 . . . 4 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
94unieqi 4680 . . . 4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
107, 8, 93eqtr4i 2811 . . 3 𝐹 = 𝐵
1110funeqi 6156 . 2 (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐵)
126, 11mpbir 223 1 Fun 𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wex 1823  {cab 2762  wral 3089  wss 3791   cuni 4671   Fr wfr 5311   Se wse 5312  cres 5357  Predcpred 5932  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  cfv 6135  (class class class)co 6922  frecscfrecs 32364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-trpred 32306  df-frecs 32365
This theorem is referenced by:  frrlem11  32381
  Copyright terms: Public domain W3C validator