Theorem frrlem10 32380

Description: Lemma for founded recursion. The union of all acceptable functions is a function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2012.) (Revised by Scott Fenton, 23-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frrlem10.1	⊢ 𝑅 Fr 𝐴
frrlem10.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
frrlem10.3	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
frrlem10.4	⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrlem10	⊢ Fun 𝐹

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦   𝑅,𝑓,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem frrlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3841	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		frrlem10.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Fr 𝐴
3		frrlem10.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
4		frrlem10.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
5	2, 3, 4	frrlem5c 32375	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐵 → Fun ∪ 𝐵)
6	1, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun ∪ 𝐵
7		df-frecs 32365	. . . 4 ⊢ frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺) = ∪ {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
8		frrlem10.4	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
9	4	unieqi 4680	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ {𝑓 ∣ ∃𝑥(𝑓 Fn 𝑥 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑦𝐺(𝑓 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦))))}
10	7, 8, 9	3eqtr4i 2811	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∪ 𝐵
11	10	funeqi 6156	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ Fun ∪ 𝐵)
12	6, 11	mpbir 223	1 ⊢ Fun 𝐹

Syntax hints:   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823  {cab 2762  ∀wral 3089   ⊆ wss 3791  ∪ cuni 4671   Fr wfr 5311   Se wse 5312   ↾ cres 5357  Predcpred 5932  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  frecscfrecs 32364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-trpred 32306  df-frecs 32365

This theorem is referenced by:  frrlem11  32381