Theorem gsum2d2 19765

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsum2d2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsum2d2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		vsnex 5391	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		xpexg 7689	. . . . . 6 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
9	8	ralrimiva 3139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10		iunexg 7901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
11	4, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12		relxp 5656	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑗} × 𝐶)
13	12	rgenw 3064	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14		reliun 5777	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
15	13, 14	mpbir 230	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17		vex 3450	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm2 5862	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19		eliunxp 5798	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)))
20		vex 3450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	17, 20	opth1 5437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
22	21	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23		simprrl 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑗 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eqeltrd 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
26	25	exlimdvv 1937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
27	19, 26	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
28	27	exlimdv 1936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
29	18, 28	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	ssrdv 3953	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31		gsum2d2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	ralrimivva 3193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) = (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
34	33	fmpox 8004	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
35	32, 34	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36		gsum2d2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
37		gsum2d2.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 19764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 19763	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))))
40		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
41		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 Σg
42		nfiu1 4993	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑚}
44	42, 43	nfima 6026	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑚
46		nfmpo1 7442	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
47		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
48	45, 46, 47	nfov 7392	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
49	44, 48	nfmpt 5217	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
50	40, 41, 49	nfov 7392	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
51		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
52		sneq 4601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
53	52	imaeq2d 6018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54		oveq1 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
55	53, 54	mpteq12dv 5201	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
56	55	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
57	50, 51, 56	cbvmpt 5221	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
58		vex 3450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
59		vex 3450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
60	58, 59	elimasn 6046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61		opeliunxp 5704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
62	60, 61	bitri 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
63	62	baib 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘 ∈ 𝐶))
64	63	eqrdv 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
65	64	mpteq1d 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
66		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
67		nfmpo2 7443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
68		nfcv 2902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
69	66, 67, 68	nfov 7392	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
70		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)
71		oveq2 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
72	69, 70, 71	cbvmpt 5221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
73	65, 72	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
74	73	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
75		simprl 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
76		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
77	33	ovmpt4g 7507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
79	78	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
80	79	mpteq2dva 5210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
81	74, 80	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
82	81	oveq2d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
83	82	mpteq2dva 5210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
84	57, 83	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
85	84	oveq2d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
86	39, 85	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3446  {csn 4591  ⟨cop 4597  ∪ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5636  dom cdm 5638   “ cima 5641  Rel wrel 5643  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Fincfn 8890  Basecbs 17094  0_gc0g 17335   Σ_g cgsu 17336  CMndccmn 19576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578

This theorem is referenced by:  gsumcom3  19769  gsumdixp  20047  psrass1lemOLD  21379  psrass1lem  21382  gsummpt2co  31960