Theorem gsum2d2 20032

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsum2d2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsum2d2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		vsnex 5396	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		xpexg 7737	. . . . . 6 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
9	8	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10		iunexg 7948	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
11	4, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12		relxp 5669	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑗} × 𝐶)
13	12	rgenw 3083	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14		reliun 5793	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
15	13, 14	mpbir 234	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm2 5881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19		eliunxp 5813	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)))
20		vex 3461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	17, 20	opth1 5447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
22	21	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23		simprrl 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑗 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eqeltrd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
26	25	exlimdvv 1957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
27	19, 26	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
28	27	exlimdv 1956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
29	18, 28	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	ssrdv 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31		gsum2d2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) = (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
34	33	fmpox 8052	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
35	32, 34	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36		gsum2d2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
37		gsum2d2.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 20031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 20030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))))
40		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
41		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 Σg
42		nfiu1 4987	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑚}
44	42, 43	nfima 6060	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑚
46		nfmpo1 7480	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
47		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
48	45, 46, 47	nfov 7430	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
49	44, 48	nfmpt 5202	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
50	40, 41, 49	nfov 7430	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
51		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
52		sneq 4595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
53	52	imaeq2d 6052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
55	53, 54	mpteq12dv 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
56	55	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
57	50, 51, 56	cbvmpt 5206	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
58		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
59		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
60	58, 59	elimasn 6082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61		opeliunxp 5718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
62	60, 61	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
63	62	baib 544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘 ∈ 𝐶))
64	63	eqrdv 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
65	64	mpteq1d 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
66		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
67		nfmpo2 7481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
68		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
69	66, 67, 68	nfov 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
70		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)
71		oveq2 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
72	69, 70, 71	cbvmpt 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
73	65, 72	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
74	73	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
75		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
76		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
77	33	ovmpt4g 7547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
79	78	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
80	79	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
81	74, 80	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
82	81	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
83	82	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
84	57, 83	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
85	84	oveq2d 7416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
86	39, 85	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  dom cdm 5651   “ cima 5654  Rel wrel 5656  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  Fincfn 8931  Basecbs 17257  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481  CMndccmn 19838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840

This theorem is referenced by:  gsumcom3  20036  gsumdixp  20388  psrass1lem  22040  gsummpt2co  33276