MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d2 19014
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d2.r ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
gsum2d2.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsum2d2.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 snex 5328 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
6 gsum2d2.r . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
7 xpexg 7462 . . . . . 6 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
85, 6, 7sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
98ralrimiva 3187 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10 iunexg 7655 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12 relxp 5572 . . . . . 6 Rel ({𝑗} × 𝐶)
1312rgenw 3155 . . . . 5 𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14 reliun 5688 . . . . 5 (Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
1513, 14mpbir 232 . . . 4 Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17 vex 3503 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1817eldm2 5769 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19 eliunxp 5707 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)))
20 vex 3503 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2117, 20opth1 5364 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
2221ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23 simprrl 777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑗𝐴)
2422, 23eqeltrd 2918 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥𝐴)
2524ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2625exlimdvv 1928 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2719, 26syl5bi 243 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2827exlimdv 1927 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2918, 28syl5bi 243 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
3029ssrdv 3977 . . 3 (𝜑 → dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31 gsum2d2.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
3231ralrimivva 3196 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵)
33 eqid 2826 . . . . 5 (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
3433fmpox 7756 . . . 4 (∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵 ↔ (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
3532, 34sylib 219 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36 gsum2d2.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
37 gsum2d2.n . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 19013 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) finSupp 0 )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 19012 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))))
40 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑗𝐺
41 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑗 Σg
42 nfiu1 4950 . . . . . . . 8 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑗{𝑚}
4442, 43nfima 5935 . . . . . . 7 𝑗( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑗𝑚
46 nfmpo1 7226 . . . . . . . 8 𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
47 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑗𝑛
4845, 46, 47nfov 7178 . . . . . . 7 𝑗(𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
4944, 48nfmpt 5160 . . . . . 6 𝑗(𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5040, 41, 49nfov 7178 . . . . 5 𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
51 nfcv 2982 . . . . 5 𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
52 sneq 4574 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
5352imaeq2d 5927 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5553, 54mpteq12dv 5148 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
5655oveq2d 7164 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
5750, 51, 56cbvmpt 5164 . . . 4 (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
58 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
59 vex 3503 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
6058, 59elimasn 5952 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61 opeliunxp 5618 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6260, 61bitri 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6362baib 536 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘𝐶))
6463eqrdv 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝐴 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
6564mpteq1d 5152 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
66 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
67 nfmpo2 7227 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
68 nfcv 2982 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑛
6966, 67, 68nfov 7178 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
70 nfcv 2982 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
71 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7269, 70, 71cbvmpt 5164 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7365, 72syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
7473adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
75 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑗𝐴)
76 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑘𝐶)
7733ovmpt4g 7287 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝐴𝑘𝐶𝑋𝐵) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7875, 76, 31, 77syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7978anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
8079mpteq2dva 5158 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)) = (𝑘𝐶𝑋))
8174, 80eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶𝑋))
8281oveq2d 7164 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
8382mpteq2dva 5158 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8457, 83syl5eq 2873 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8584oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
8639, 85eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  {csn 4564  cop 4570   ciun 4917   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  dom cdm 5554  cima 5557  Rel wrel 5559  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cmpo 7150  Fincfn 8498  Basecbs 16473  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  CMndccmn 18826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828
This theorem is referenced by:  gsumcom3  19018  gsumdixp  19279  psrass1lem  20076  gsummpt2co  30600
  Copyright terms: Public domain W3C validator