MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d2 18639
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. (Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d2.r ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
gsum2d2.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsum2d2.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 snex 5064 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
6 gsum2d2.r . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
7 xpexg 7158 . . . . . 6 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
85, 6, 7sylancr 581 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
98ralrimiva 3113 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10 iunexg 7341 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 579 . . 3 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12 relxp 5295 . . . . . 6 Rel ({𝑗} × 𝐶)
1312rgenw 3071 . . . . 5 𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14 reliun 5408 . . . . 5 (Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
1513, 14mpbir 222 . . . 4 Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17 vex 3353 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1817eldm2 5490 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19 eliunxp 5428 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)))
20 vex 3353 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2117, 20opth1 5099 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
2221ad2antrl 719 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23 simprrl 799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑗𝐴)
2422, 23eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥𝐴)
2524ex 401 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2625exlimdvv 2029 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2719, 26syl5bi 233 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2827exlimdv 2028 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2918, 28syl5bi 233 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
3029ssrdv 3767 . . 3 (𝜑 → dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31 gsum2d2.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
3231ralrimivva 3118 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵)
33 eqid 2765 . . . . 5 (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
3433fmpt2x 7437 . . . 4 (∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵 ↔ (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
3532, 34sylib 209 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36 gsum2d2.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
37 gsum2d2.n . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 18638 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) finSupp 0 )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 18637 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))))
40 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗𝐺
41 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗 Σg
42 nfiu1 4706 . . . . . . . 8 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑗{𝑚}
4442, 43nfima 5656 . . . . . . 7 𝑗( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑗𝑚
46 nfmpt21 6920 . . . . . . . 8 𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
47 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑗𝑛
4845, 46, 47nfov 6872 . . . . . . 7 𝑗(𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
4944, 48nfmpt 4905 . . . . . 6 𝑗(𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5040, 41, 49nfov 6872 . . . . 5 𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
51 nfcv 2907 . . . . 5 𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
52 sneq 4344 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
5352imaeq2d 5648 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54 oveq1 6849 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5553, 54mpteq12dv 4892 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
5655oveq2d 6858 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
5750, 51, 56cbvmpt 4908 . . . 4 (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
58 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
59 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
6058, 59elimasn 5672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61 opeliunxp 5338 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6260, 61bitri 266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6362baib 531 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘𝐶))
6463eqrdv 2763 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝐴 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
6564mpteq1d 4897 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
66 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
67 nfmpt22 6921 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
68 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑛
6966, 67, 68nfov 6872 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
70 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
71 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7269, 70, 71cbvmpt 4908 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7365, 72syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
7473adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
75 simprl 787 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑗𝐴)
76 simprr 789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑘𝐶)
7733ovmpt4g 6981 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝐴𝑘𝐶𝑋𝐵) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7875, 76, 31, 77syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7978anassrs 459 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
8079mpteq2dva 4903 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)) = (𝑘𝐶𝑋))
8174, 80eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶𝑋))
8281oveq2d 6858 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
8382mpteq2dva 4903 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8457, 83syl5eq 2811 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8584oveq2d 6858 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
8639, 85eqtrd 2799 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  {csn 4334  cop 4340   ciun 4676   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  dom cdm 5277  cima 5280  Rel wrel 5282  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  Fincfn 8160  Basecbs 16132  0gc0g 16368   Σg cgsu 16369  CMndccmn 18459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461
This theorem is referenced by:  gsumdixp  18876  psrass1lem  19651  gsumcom3  20481  gsummpt2co  30162
  Copyright terms: Public domain W3C validator