Theorem gsum2d2 20221

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsum2d2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsum2d2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗, 𝑘)   𝑋(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		vsnex 5398	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		xpexg 7791	. . . . . 6 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
9	8	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10		iunexg 8002	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
11	4, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12		relxp 5674	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑗} × 𝐶)
13	12	rgenw 3084	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14		reliun 5800	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
15	13, 14	mpbir 234	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm2 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19		eliunxp 5821	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)))
20		vex 3458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	17, 20	opth1 5449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
22	21	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23		simprrl 793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑗 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
26	25	exlimdvv 1969	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
27	19, 26	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
28	27	exlimdv 1968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
29	18, 28	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	ssrdv 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31		gsum2d2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) = (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
34	33	fmpox 8106	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
35	32, 34	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36		gsum2d2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
37		gsum2d2.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 20220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 20219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))))
40		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
41		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 Σg
42		nfiu1 4989	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑚}
44	42, 43	nfima 6077	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑚
46		nfmpo1 7526	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
47		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
48	45, 46, 47	nfov 7476	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
49	44, 48	nfmpt 5207	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
50	40, 41, 49	nfov 7476	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
51		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
52		sneq 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
53	52	imaeq2d 6065	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54		oveq1 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
55	53, 54	mpteq12dv 5196	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
56	55	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
57	50, 51, 56	cbvmpt 5211	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
58		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
59		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
60	58, 59	elimasn 6101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61		opeliunxp 5723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
62	60, 61	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
63	62	baib 545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘 ∈ 𝐶))
64	63	eqrdv 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
65	64	mpteq1d 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
66		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
67		nfmpo2 7527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
68		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
69	66, 67, 68	nfov 7476	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
70		nfcv 2926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)
71		oveq2 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
72	69, 70, 71	cbvmpt 5211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
73	65, 72	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
74	73	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
75		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
76		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
77	33	ovmpt4g 7594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
79	78	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
80	79	mpteq2dva 5202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
81	74, 80	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
82	81	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
83	82	mpteq2dva 5202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
84	57, 83	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
85	84	oveq2d 7462	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
86	39, 85	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4838  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  dom cdm 5656   “ cima 5659  Rel wrel 5661  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448  Fincfn 9004  Basecbs 17419  0_gc0g 17642   Σ_g cgsu 17643  CMndccmn 20027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029

This theorem is used by:  gsumcom3  20225  gsumdixp  20581  psrass1lem  22274  gsummpt2co  33685