Theorem gsum2d2 19955

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsum2d2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsum2d2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		vsnex 5404	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		xpexg 7744	. . . . . 6 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
9	8	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10		iunexg 7962	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
11	4, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12		relxp 5672	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑗} × 𝐶)
13	12	rgenw 3055	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14		reliun 5795	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
15	13, 14	mpbir 231	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17		vex 3463	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm2 5881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19		eliunxp 5817	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)))
20		vex 3463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	17, 20	opth1 5450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
22	21	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23		simprrl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑗 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
26	25	exlimdvv 1934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
27	19, 26	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
28	27	exlimdv 1933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
29	18, 28	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	ssrdv 3964	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31		gsum2d2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	ralrimivva 3187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) = (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
34	33	fmpox 8066	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
35	32, 34	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36		gsum2d2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
37		gsum2d2.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 19954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 19953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))))
40		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
41		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 Σg
42		nfiu1 5003	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑚}
44	42, 43	nfima 6055	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑚
46		nfmpo1 7487	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
47		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
48	45, 46, 47	nfov 7435	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
49	44, 48	nfmpt 5219	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
50	40, 41, 49	nfov 7435	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
51		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
52		sneq 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
53	52	imaeq2d 6047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
55	53, 54	mpteq12dv 5207	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
56	55	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
57	50, 51, 56	cbvmpt 5223	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
58		vex 3463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
59		vex 3463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
60	58, 59	elimasn 6077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61		opeliunxp 5721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
62	60, 61	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
63	62	baib 535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘 ∈ 𝐶))
64	63	eqrdv 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
65	64	mpteq1d 5210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
66		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
67		nfmpo2 7488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
68		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
69	66, 67, 68	nfov 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
70		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)
71		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
72	69, 70, 71	cbvmpt 5223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
73	65, 72	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
74	73	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
75		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
76		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
77	33	ovmpt4g 7554	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
79	78	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
80	79	mpteq2dva 5214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
81	74, 80	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
82	81	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
83	82	mpteq2dva 5214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
84	57, 83	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
85	84	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
86	39, 85	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  {csn 4601  ⟨cop 4607  ∪ ciun 4967   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  dom cdm 5654   “ cima 5657  Rel wrel 5659  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Fincfn 8959  Basecbs 17228  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  CMndccmn 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763

This theorem is referenced by:  gsumcom3  19959  gsumdixp  20279  psrass1lem  21892  gsummpt2co  33042