MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsum2d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsum2d2 19883
Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z 0 = (0g𝐺)
gsum2d2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsum2d2.r ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
gsum2d2.f ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
gsum2d2.u (𝜑𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
Assertion
Ref Expression
gsum2d2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsum2d2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsum2d2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsum2d2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 vsnex 5428 . . . . . 6 {𝑗} ∈ V
6 gsum2d2.r . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐶𝑊)
7 xpexg 7739 . . . . . 6 (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
85, 6, 7sylancr 585 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
98ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10 iunexg 7952 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
114, 9, 10syl2anc 582 . . 3 (𝜑 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12 relxp 5693 . . . . . 6 Rel ({𝑗} × 𝐶)
1312rgenw 3063 . . . . 5 𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14 reliun 5815 . . . . 5 (Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
1513, 14mpbir 230 . . . 4 Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → Rel 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17 vex 3476 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1817eldm2 5900 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19 eliunxp 5836 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)))
20 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
2117, 20opth1 5474 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
2221ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23 simprrl 777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑗𝐴)
2422, 23eqeltrd 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶))) → 𝑥𝐴)
2524ex 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2625exlimdvv 1935 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑥𝐴))
2719, 26biimtrid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2827exlimdv 1934 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
2918, 28biimtrid 241 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥𝐴))
3029ssrdv 3987 . . 3 (𝜑 → dom 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31 gsum2d2.f . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑋𝐵)
3231ralrimivva 3198 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵)
33 eqid 2730 . . . . 5 (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) = (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
3433fmpox 8055 . . . 4 (∀𝑗𝐴𝑘𝐶 𝑋𝐵 ↔ (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
3532, 34sylib 217 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋): 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36 gsum2d2.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
37 gsum2d2.n . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
381, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37gsum2d2lem 19882 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋) finSupp 0 )
391, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38gsum2d 19881 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))))
40 nfcv 2901 . . . . . 6 𝑗𝐺
41 nfcv 2901 . . . . . 6 𝑗 Σg
42 nfiu1 5030 . . . . . . . 8 𝑗 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑗{𝑚}
4442, 43nfima 6066 . . . . . . 7 𝑗( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑗𝑚
46 nfmpo1 7491 . . . . . . . 8 𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
47 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑗𝑛
4845, 46, 47nfov 7441 . . . . . . 7 𝑗(𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
4944, 48nfmpt 5254 . . . . . 6 𝑗(𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5040, 41, 49nfov 7441 . . . . 5 𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
51 nfcv 2901 . . . . 5 𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
52 sneq 4637 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
5352imaeq2d 6058 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))
5553, 54mpteq12dv 5238 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
5655oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
5750, 51, 56cbvmpt 5258 . . . 4 (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))
58 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 ∈ V
59 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ V
6058, 59elimasn 6087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61 opeliunxp 5742 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6260, 61bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗𝐴𝑘𝐶))
6362baib 534 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → (𝑘 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘𝐶))
6463eqrdv 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝐴 → ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
6564mpteq1d 5242 . . . . . . . . 9 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))
66 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
67 nfmpo2 7492 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)
68 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑛
6966, 67, 68nfov 7441 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)
70 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)
71 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7269, 70, 71cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘))
7365, 72eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (𝑗𝐴 → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
7473adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)))
75 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑗𝐴)
76 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝑘𝐶)
7733ovmpt4g 7557 . . . . . . . . . 10 ((𝑗𝐴𝑘𝐶𝑋𝐵) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7875, 76, 31, 77syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
7978anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘𝐶) → (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘) = 𝑋)
8079mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑘𝐶 ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑘)) = (𝑘𝐶𝑋))
8174, 80eqtrd 2770 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)) = (𝑘𝐶𝑋))
8281oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
8382mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8457, 83eqtrid 2782 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛)))) = (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋))))
8584oveq2d 7427 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ ( 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
8639, 85eqtrd 2770 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴, 𝑘𝐶𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  wral 3059  Vcvv 3472  {csn 4627  cop 4633   ciun 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5673  dom cdm 5675  cima 5678  Rel wrel 5680  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  cmpo 7413  Fincfn 8941  Basecbs 17148  0gc0g 17389   Σg cgsu 17390  CMndccmn 19689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691
This theorem is referenced by:  gsumcom3  19887  gsumdixp  20207  psrass1lemOLD  21712  psrass1lem  21715  gsummpt2co  32470
  Copyright terms: Public domain W3C validator