Theorem gsum2d2 19359

Description: Write a group sum over a two-dimensional region as a double sum. Note that 𝐶(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsum2d2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsum2d2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsum2d2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsum2d2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsum2d2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsum2d2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsum2d2.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐵   𝜑,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐶,𝑘   𝑗,𝑉   0 ,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsum2d2

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsum2d2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsum2d2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsum2d2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		snex 5324	. . . . . 6 ⊢ {𝑗} ∈ V
6		gsum2d2.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		xpexg 7535	. . . . . 6 ⊢ (({𝑗} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
9	8	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
10		iunexg 7736	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V) → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
11	4, 9, 10	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ∈ V)
12		relxp 5569	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑗} × 𝐶)
13	12	rgenw 3073	. . . . 5 ⊢ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶)
14		reliun 5686	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∀𝑗 ∈ 𝐴 Rel ({𝑗} × 𝐶))
15	13, 14	mpbir 234	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
17		vex 3412	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm2 5770	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
19		eliunxp 5706	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ ∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)))
20		vex 3412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
21	17, 20	opth1 5359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝑥 = 𝑗)
22	21	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑗)
23		simprrl 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑗 ∈ 𝐴)
24	22, 23	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
25	24	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
26	25	exlimdvv 1942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗∃𝑘(⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴))
27	19, 26	syl5bi 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
28	27	exlimdv 1941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
29	18, 28	syl5bi 245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐴))
30	29	ssrdv 3907	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ⊆ 𝐴)
31		gsum2d2.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	31	ralrimivva 3112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵)
33		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) = (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
34	33	fmpox 7837	. . . 4 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐶 𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
35	32, 34	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋):∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)⟶𝐵)
36		gsum2d2.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
37		gsum2d2.n	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
38	1, 2, 3, 4, 6, 31, 36, 37	gsum2d2lem 19358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
39	1, 2, 3, 11, 16, 4, 30, 35, 38	gsum2d 19357	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))))
40		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐺
41		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 Σg
42		nfiu1 4938	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶)
43		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑚}
44	42, 43	nfima 5937	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚})
45		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑚
46		nfmpo1 7291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
47		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑛
48	45, 46, 47	nfov 7243	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
49	44, 48	nfmpt 5152	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
50	40, 41, 49	nfov 7243	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
51		nfcv 2904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
52		sneq 4551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
53	52	imaeq2d 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) = (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}))
54		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))
55	53, 54	mpteq12dv 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
56	55	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
57	50, 51, 56	cbvmpt 5156	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))
58		vex 3412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑗 ∈ V
59		vex 3412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑘 ∈ V
60	58, 59	elimasn 5957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶))
61		opeliunxp 5616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
62	60, 61	bitri 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶))
63	62	baib 539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↔ 𝑘 ∈ 𝐶))
64	63	eqrdv 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) = 𝐶)
65	64	mpteq1d 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))
66		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
67		nfmpo2 7292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)
68		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
69	66, 67, 68	nfov 7243	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)
70		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)
71		oveq2 7221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛) = (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
72	69, 70, 71	cbvmpt 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘))
73	65, 72	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
74	73	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)))
75		simprl 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑗 ∈ 𝐴)
76		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑘 ∈ 𝐶)
77	33	ovmpt4g 7356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
78	75, 76, 31, 77	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
79	78	anassrs 471	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘) = 𝑋)
80	79	mpteq2dva 5150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
81	74, 80	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
82	81	oveq2d 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
83	82	mpteq2dva 5150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑗}) ↦ (𝑗(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
84	57, 83	syl5eq 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛)))) = (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))))
85	84	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑚 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑛 ∈ (∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐶) “ {𝑚}) ↦ (𝑚(𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)𝑛))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))
86	39, 85	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408  {csn 4541  ⟨cop 4547  ∪ ciun 4904   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549  dom cdm 5551   “ cima 5554  Rel wrel 5556  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  Fincfn 8626  Basecbs 16760  0_gc0g 16944   Σ_g cgsu 16945  CMndccmn 19170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172

This theorem is referenced by:  gsumcom3  19363  gsumdixp  19627  psrass1lemOLD  20899  psrass1lem  20902  gsummpt2co  31027