Theorem eqvreldisj4 39082

Description: Intersection with the converse epsilon relation restricted to the quotient set of an equivalence relation is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 30-May-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj4	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Proof of Theorem eqvreldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 39081	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2		disjimin 39006	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∩ cin 3900   E cep 5523  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   / cqs 8634   EqvRel weqvrel 38396   Disj wdisjALTV 38413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-eprel 5524  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ec 8637  df-qs 8641  df-coss 38670  df-refrel 38761  df-cnvrefrel 38776  df-symrel 38793  df-trrel 38827  df-eqvrel 38838  df-funALTV 38937  df-disjALTV 38960  df-eldisj 38962

This theorem is referenced by: (None)