Theorem eqvreldisj4 38354

Description: Intersection with the converse epsilon relation restricted to the quotient set of an equivalence relation is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 30-May-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj4	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Proof of Theorem eqvreldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 38353	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2		disjimin 38278	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∩ cin 3939   E cep 5575  ^◡ccnv 5671   ↾ cres 5674   / cqs 8720   EqvRel weqvrel 37721   Disj wdisjALTV 37738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-eprel 5576  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ec 8723  df-qs 8727  df-coss 37938  df-refrel 38039  df-cnvrefrel 38054  df-symrel 38071  df-trrel 38101  df-eqvrel 38112  df-funALTV 38209  df-disjALTV 38232  df-eldisj 38234

This theorem is referenced by: (None)