Theorem eqvreldisj4 38804

Description: Intersection with the converse epsilon relation restricted to the quotient set of an equivalence relation is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 30-May-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj4	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Proof of Theorem eqvreldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 38803	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2		disjimin 38728	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∩ cin 3904   E cep 5522  ^◡ccnv 5622   ↾ cres 5625   / cqs 8631   EqvRel weqvrel 38171   Disj wdisjALTV 38188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-eprel 5523  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ec 8634  df-qs 8638  df-coss 38387  df-refrel 38488  df-cnvrefrel 38503  df-symrel 38520  df-trrel 38550  df-eqvrel 38561  df-funALTV 38659  df-disjALTV 38682  df-eldisj 38684

This theorem is referenced by: (None)