Theorem eqvreldisj5 39437

Description: Range Cartesian product with converse epsilon relation restricted to the quotient set of an equivalence relation is disjoint. (Contributed by Peter Mazsa, 30-May-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvreldisj5	⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Proof of Theorem eqvreldisj5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 39435	. 2 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2		disjimxrn 39355	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   E cep 5550  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   / cqs 8681   ⋉ cxrn 38680   EqvRel weqvrel 38706   Disj wdisjALTV 38725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fo 6531  df-fv 6533  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-ec 8684  df-qs 8688  df-xrn 38886  df-coss 39007  df-refrel 39098  df-cnvrefrel 39113  df-symrel 39130  df-trrel 39164  df-eqvrel 39175  df-disjALTV 39296  df-eldisj 39298

This theorem is referenced by: (None)