Theorem eupthistrl 30348

Description: An Eulerian path is a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eupthistrl	⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem eupthistrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	iseupth 30338	. 2 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom (iEdg‘𝐺)))
3	2	simplbi 499	1 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5090  dom cdm 5636  –onto→wfo 6504  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  ..^cfzo 13645  ♯chash 14329  iEdgciedg 29133  Trailsctrls 29824  EulerPathsceupth 30334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-fo 6512  df-fv 6514  df-ov 7384  df-trls 29826  df-eupth 30335

This theorem is referenced by:  eupthiswlk  30349  eupthres  30352  eupth2eucrct  30354  eupth2lem3  30373