Theorem eupthistrl 30093

Description: An Eulerian path is a trail. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eupthistrl	⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem eupthistrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	iseupth 30083	. 2 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom (iEdg‘𝐺)))
3	2	simplbi 496	1 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  –onto→wfo 6547  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  ..^cfzo 13662  ♯chash 14325  iEdgciedg 28882  Trailsctrls 29576  EulerPathsceupth 30079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-fo 6555  df-fv 6557  df-ov 7422  df-trls 29578  df-eupth 30080

This theorem is referenced by:  eupthiswlk  30094  eupthres  30097  eupth2eucrct  30099  eupth2lem3  30118