MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthres 30053
Description: The restriction ⟨𝐻, π‘„βŸ© of an Eulerian path ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupth0.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupthres.d (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupthres.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
eupthres.e (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
eupthres.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
eupthres.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
Assertion
Ref Expression
eupthres (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)

Proof of Theorem eupthres
StepHypRef Expression
1 eupth0.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eupthres.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eupthistrl 30049 . . . 4 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
5 trliswlk 29539 . . . 4 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 eupthres.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8 eupthres.s . . . 4 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
98a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
10 eupthres.e . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
11 eupthres.h . . 3 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12 eupthres.q . . 3 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
131, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12wlkres 29512 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄)
143, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
151, 2, 14, 7, 11trlreslem 29541 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
16 eqid 2728 . . . 4 (iEdgβ€˜π‘†) = (iEdgβ€˜π‘†)
1716iseupthf1o 30040 . . 3 (𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄 ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (iEdgβ€˜π‘†)))
1810dmeqd 5912 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘†) = dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
1918f1oeq3d 6841 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (iEdgβ€˜π‘†) ↔ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))))
2019anbi2d 628 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (iEdgβ€˜π‘†)) ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))))
2117, 20bitrid 282 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄 ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))))
2213, 15, 21mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  ...cfz 13526  ..^cfzo 13669  β™―chash 14331   prefix cpfx 14662  Vtxcvtx 28837  iEdgciedg 28838  Walkscwlks 29438  Trailsctrls 29532  EulerPathsceupth 30035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-wlks 29441  df-trls 29534  df-eupth 30036
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  30082
  Copyright terms: Public domain W3C validator