Theorem eupthres 30290

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
eupthres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉

Assertion

Ref	Expression
eupthres	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eupthistrl 30286	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		trliswlk 29769	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		eupthres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		eupthres.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10		eupthres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		eupthres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		eupthres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 29742	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
14	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 29771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
17	16	iseupthf1o 30277	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)))
18	10	dmeqd 5854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19	18	f1oeq3d 6771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
20	19	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
21	17, 20	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
22	13, 15, 21	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253   prefix cpfx 14594  Vtxcvtx 29069  iEdgciedg 29070  Walkscwlks 29670  Trailsctrls 29762  EulerPathsceupth 30272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-wlks 29673  df-trls 29764  df-eupth 30273

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  30319