MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthres 29977
Description: The restriction ⟨𝐻, π‘„βŸ© of an Eulerian path ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupth0.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupthres.d (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupthres.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
eupthres.e (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
eupthres.h 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
eupthres.s (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
Assertion
Ref Expression
eupthres (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)

Proof of Theorem eupthres
StepHypRef Expression
1 eupth0.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eupth0.i . . 3 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eupthres.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eupthistrl 29973 . . . 4 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
5 trliswlk 29463 . . . 4 (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 eupthres.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8 eupthres.s . . . 4 (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉
98a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
10 eupthres.e . . 3 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
11 eupthres.h . . 3 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12 eupthres.q . . 3 𝑄 = (𝑃 β†Ύ (0...𝑁))
131, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12wlkres 29436 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄)
143, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
151, 2, 14, 7, 11trlreslem 29465 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
16 eqid 2726 . . . 4 (iEdgβ€˜π‘†) = (iEdgβ€˜π‘†)
1716iseupthf1o 29964 . . 3 (𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄 ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (iEdgβ€˜π‘†)))
1810dmeqd 5899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜π‘†) = dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
1918f1oeq3d 6824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (iEdgβ€˜π‘†) ↔ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))))
2019anbi2d 628 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (iEdgβ€˜π‘†)) ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))))
2117, 20bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄 ↔ (𝐻(Walksβ€˜π‘†)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–1-1-ontoβ†’dom (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))))
2213, 15, 21mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜π‘†)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295   prefix cpfx 14626  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  Walkscwlks 29362  Trailsctrls 29456  EulerPathsceupth 29959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-eupth 29960
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  30006
  Copyright terms: Public domain W3C validator