Theorem eupthres 30873

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
eupthres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉

Assertion

Ref	Expression
eupthres	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eupthistrl 30869	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		trliswlk 30337	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		eupthres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		eupthres.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10		eupthres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		eupthres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		eupthres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 30306	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
14	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 30339	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
17	16	iseupthf1o 30860	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (iEdg‘𝑆)))
18	10	dmeqd 5899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19	18	f1oeq3d 6851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
20	19	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
21	17, 20	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶1-1ontodom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
22	13, 15, 21	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   “ cima 5661  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515   prefix cpfx 14862  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  Walkscwlks 30234  Trailsctrls 30330  EulerPathsceupth 30855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-wlks 30237  df-trls 30332  df-eupth 30856

This theorem is used by:  eucrct2eupth1  30902