Theorem eupthres 30244

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
eupthres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉

Assertion

Ref	Expression
eupthres	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eupthistrl 30240	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		trliswlk 29730	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		eupthres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		eupthres.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10		eupthres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		eupthres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		eupthres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 29703	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
14	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 29732	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
17	16	iseupthf1o 30231	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)))
18	10	dmeqd 5919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19	18	f1oeq3d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
20	19	anbi2d 630	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
21	17, 20	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
22	13, 15, 21	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  dom cdm 5689   ↾ cres 5691   “ cima 5692  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366   prefix cpfx 14705  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629  Trailsctrls 29723  EulerPathsceupth 30226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-eupth 30227

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  30273