Theorem eupthres 30566

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
eupthres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉

Assertion

Ref	Expression
eupthres	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eupthistrl 30562	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		trliswlk 30045	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6	3, 4, 5	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		eupthres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		eupthres.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10		eupthres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		eupthres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		eupthres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 30018	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
14	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 30047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
17	16	iseupthf1o 30553	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)))
18	10	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19	18	f1oeq3d 6817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
20	19	anbi2d 641	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
21	17, 20	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
22	13, 15, 21	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   “ cima 5664  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362   prefix cpfx 14704  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  Walkscwlks 29946  Trailsctrls 30038  EulerPathsceupth 30548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-wlks 29949  df-trls 30040  df-eupth 30549

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  30595