Theorem eupthres 30303

Description: The restriction ⟨𝐻, 𝑄⟩ of an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ to an initial segment of the path (of length 𝑁) forms an Eulerian path on the subgraph 𝑆 consisting of the edges in the initial segment. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) Hypothesis revised using the prefix operation. (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupth0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth0.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
eupthres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
eupthres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
eupthres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
eupthres.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉

Assertion

Ref	Expression
eupthres	⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem eupthres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupth0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupth0.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthres.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
4		eupthistrl 30299	. . . 4 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
5		trliswlk 29782	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7		eupthres.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8		eupthres.s	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
10		eupthres.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11		eupthres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 prefix 𝑁)
12		eupthres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
13	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 12	wlkres 29755	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
14	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15	1, 2, 14, 7, 11	trlreslem 29784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
16		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
17	16	iseupthf1o 30290	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)))
18	10	dmeqd 5847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
19	18	f1oeq3d 6764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))))
20	19	anbi2d 636	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (iEdg‘𝑆)) ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
21	17, 20	bitrid 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→dom (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))))
22	13, 15, 21	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  dom cdm 5618   ↾ cres 5620   “ cima 5621  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283   prefix cpfx 14624  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  Walkscwlks 29683  Trailsctrls 29775  EulerPathsceupth 30285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-ifp 1069  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-wlks 29686  df-trls 29777  df-eupth 30286

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth1  30332