Theorem eupth2eucrct 30249

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
eupth2eucrct	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
10		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12		eupthp1.u	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15		eupthp1.s	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	eupthp1 30248	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19		eupthistrl 30243	. . . . 5 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
21		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
22		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
23	21, 22	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24		eupthiswlk 30244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
26	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
27	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27	wlkp1lem5 29713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
29	2	wlkf 29650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
30		lencl 14581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	9	eleq1i 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
32		0elfz 13681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
33	31, 32	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	8, 24, 29, 34	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
36	23, 28, 35	rspcdva 3636	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
38		eupth2eucrct.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))
39	38	eqcomd 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
41	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
42	13	fveq2i 6923	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
44		wrdfin 14580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
45	8, 24, 29, 44	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
47		snfi 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
49		wrddm 14569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
50	8, 24, 29, 49	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51		fzonel 13730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
53	9	eleq1i 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
54	52, 53	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
55		eleq2 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56	55	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
57	54, 56	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
58	9	fvexi 6934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
60	59, 5	opeldmd 5931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ dom 𝐹))
61	57, 60	nsyld 156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
62	50, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
64		disjsn 4736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
65	63, 64	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
66		hashun 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
67	46, 48, 65, 66	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
68	9	eqcomi 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
69		opex 5484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
70		hashsng 14418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
72	68, 71	oveq12i 7460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
73	72	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
74	43, 67, 73	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
75	41, 74	fveq12d 6927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
76		ovexd 7483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9	wlkp1lem1 29709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
78	76, 6, 77	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
80		fsnunfv 7221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
82	75, 81	eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
83	37, 40, 82	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
84		iscrct 29826	. . . 4 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
85	20, 83, 84	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄)
86	18, 85	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
87	17, 86	mpdan 686	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  Edgcedg 29082  Walkscwlks 29632  Trailsctrls 29726  Circuitsccrcts 29820  EulerPathsceupth 30229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-wlks 29635  df-trls 29728  df-crcts 29822  df-eupth 30230

This theorem is referenced by: (None)