Theorem eupth2eucrct 30165

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
eupth2eucrct	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
10		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12		eupthp1.u	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15		eupthp1.s	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	eupthp1 30164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19		eupthistrl 30159	. . . . 5 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
21		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
22		fveq2 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
23	21, 22	eqeq12d 2750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24		eupthiswlk 30160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
26	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
27	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27	wlkp1lem5 29624	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
29	2	wlkf 29561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
30		lencl 14554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	9	eleq1i 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
32		0elfz 13646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
33	31, 32	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	8, 24, 29, 34	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
36	23, 28, 35	rspcdva 3606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
38		eupth2eucrct.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))
39	38	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
41	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
42	13	fveq2i 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
44		wrdfin 14553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
45	8, 24, 29, 44	4syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
47		snfi 9065	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
49		wrddm 14542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
50	8, 24, 29, 49	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51		fzonel 13695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
53	9	eleq1i 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
54	52, 53	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
55		eleq2 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56	55	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
57	54, 56	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
58	9	fvexi 6900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
60	59, 5	opeldmd 5897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ dom 𝐹))
61	57, 60	nsyld 156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
62	50, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
64		disjsn 4691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
65	63, 64	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
66		hashun 14404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
67	46, 48, 65, 66	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
68	9	eqcomi 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
69		opex 5449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
70		hashsng 14391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
72	68, 71	oveq12i 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
73	72	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
74	43, 67, 73	3eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
75	41, 74	fveq12d 6893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
76		ovexd 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9	wlkp1lem1 29620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
78	76, 6, 77	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
80		fsnunfv 7189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
82	75, 81	eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
83	37, 40, 82	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
84		iscrct 29739	. . . 4 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
85	20, 83, 84	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄)
86	18, 85	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
87	17, 86	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  {cpr 4608  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Fincfn 8967  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140  ℕ₀cn0 12509  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14352  Word cword 14535  Vtxcvtx 28942  iEdgciedg 28943  Edgcedg 28993  Walkscwlks 29543  Trailsctrls 29637  Circuitsccrcts 29733  EulerPathsceupth 30145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14353  df-word 14536  df-wlks 29546  df-trls 29639  df-crcts 29735  df-eupth 30146

This theorem is referenced by: (None)