MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2eucrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2eucrct 30246
Description: Append one path segment to an Eulerian path 𝐹, 𝑃 which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵𝑊)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c (𝜑𝐶 = (𝑃‘0))
Assertion
Ref Expression
eupth2eucrct (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . 3 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
10 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12 eupthp1.u . . 3 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15 eupthp1.s . . 3 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16eupthp1 30245 . 2 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19 eupthistrl 30240 . . . . 5 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
21 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
22 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2321, 22eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24 eupthiswlk 30241 . . . . . . . . 9 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
258, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2612a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2715a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27wlkp1lem5 29710 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
292wlkf 29647 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
30 lencl 14568 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
319eleq1i 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
32 0elfz 13661 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3331, 32sylbir 235 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3430, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
358, 24, 29, 344syl 19 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
3623, 28, 35rspcdva 3623 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
38 eupth2eucrct.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (𝑃‘0))
3938eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
4039adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
4114a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
4213fveq2i 6910 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4342a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
44 wrdfin 14567 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹 ∈ Fin)
458, 24, 29, 444syl 19 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Fin)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
47 snfi 9082 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
4847a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
49 wrddm 14556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
508, 24, 29, 494syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51 fzonel 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
539eleq1i 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5452, 53sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
55 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
5655notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
5754, 56syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
589fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ V)
6059, 5opeldmd 5920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹𝑁 ∈ dom 𝐹))
6157, 60nsyld 156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
6250, 61mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
6362adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
64 disjsn 4716 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
6563, 64sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
66 hashun 14418 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
6746, 48, 65, 66syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
689eqcomi 2744 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐹) = 𝑁
69 opex 5475 . . . . . . . . . . 11 𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
70 hashsng 14405 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
7268, 71oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
7372a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
7443, 67, 733eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
7541, 74fveq12d 6914 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
76 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
771, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9wlkp1lem1 29706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
7876, 6, 773jca 1127 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
7978adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
80 fsnunfv 7207 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
8275, 81eqtr2d 2776 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
8337, 40, 823eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
84 iscrct 29823 . . . 4 (𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
8520, 83, 84sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄)
8618, 85jca 511 . 2 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
8717, 86mpdan 687 1 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  Walkscwlks 29629  Trailsctrls 29723  Circuitsccrcts 29817  EulerPathsceupth 30226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-crcts 29819  df-eupth 30227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator