Theorem eupth2eucrct 28581

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
eupth2eucrct	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
10		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12		eupthp1.u	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15		eupthp1.s	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	eupthp1 28580	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19		eupthistrl 28575	. . . . 5 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
20	19	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
21		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
22		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
23	21, 22	eqeq12d 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24		eupthiswlk 28576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
25	8, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
26	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
27	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27	wlkp1lem5 28045	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
29	2	wlkf 27981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
30	24, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31		lencl 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
32	9	eleq1i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
33		0elfz 13353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
34	32, 33	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
36	8, 30, 35	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
37	23, 28, 36	rspcdva 3562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
38	37	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
39		eupth2eucrct.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))
40	39	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
41	40	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
42	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
43	13	fveq2i 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
45		wrdfin 14235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
46	29, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Fin)
47	8, 24, 46	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
49		snfi 8834	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
51		wrddm 14224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
52	8, 30, 51	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
53		fzonel 13401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
55	9	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
56	54, 55	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
57		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
58	57	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
59	56, 58	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
60	9	fvexi 6788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
62	61, 5	opeldmd 5815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ dom 𝐹))
63	59, 62	nsyld 156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
64	52, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
66		disjsn 4647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
67	65, 66	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
68		hashun 14097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
69	48, 50, 67, 68	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
70	9	eqcomi 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
71		opex 5379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
72		hashsng 14084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
74	70, 73	oveq12i 7287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
75	74	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
76	44, 69, 75	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
77	42, 76	fveq12d 6781	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
78		ovexd 7310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
79	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9	wlkp1lem1 28041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
80	78, 6, 79	3jca 1127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
81	80	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
82		fsnunfv 7059	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
83	81, 82	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
84	77, 83	eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
85	38, 41, 84	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
86		iscrct 28158	. . . 4 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
87	20, 85, 86	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄)
88	18, 87	jca 512	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
89	17, 88	mpdan 684	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Edgcedg 27417  Walkscwlks 27963  Trailsctrls 28058  Circuitsccrcts 28152  EulerPathsceupth 28561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-crcts 28154  df-eupth 28562

This theorem is referenced by: (None)