MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2eucrct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2eucrct 30020
Description: Append one path segment to an Eulerian path 𝐹, 𝑃 which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b (𝜑𝐵𝑊)
eupthp1.c (𝜑𝐶𝑉)
eupthp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c (𝜑𝐶 = (𝑃‘0))
Assertion
Ref Expression
eupth2eucrct (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupthp1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupthp1.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupthp1.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupthp1.a . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 eupthp1.b . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
6 eupthp1.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
7 eupthp1.d . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 eupthp1.p . . 3 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9 eupthp1.n . . 3 𝑁 = (♯‘𝐹)
10 eupthp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11 eupthp1.x . . 3 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12 eupthp1.u . . 3 (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13 eupthp1.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14 eupthp1.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15 eupthp1.s . . 3 (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16 eupthp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16eupthp1 30019 . 2 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19 eupthistrl 30014 . . . . 5 (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
2019adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
21 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
22 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2321, 22eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24 eupthiswlk 30015 . . . . . . . . 9 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
258, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2612a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2715a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27wlkp1lem5 29484 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
292wlkf 29421 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
3024, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
31 lencl 14509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
329eleq1i 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
33 0elfz 13624 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3432, 33sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3531, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
368, 30, 353syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
3723, 28, 36rspcdva 3609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
3837adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
39 eupth2eucrct.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (𝑃‘0))
4039eqcomd 2734 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
4214a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
4313fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
45 wrdfin 14508 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹 ∈ Fin)
4629, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Fin)
478, 24, 463syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ Fin)
4847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
49 snfi 9062 . . . . . . . . . 10 {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
51 wrddm 14497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
528, 30, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
53 fzonel 13672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
559eleq1i 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5654, 55sylnibr 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
57 eleq2 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
5857notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
5956, 58syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
609fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 ∈ V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ V)
6261, 5opeldmd 5903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹𝑁 ∈ dom 𝐹))
6359, 62nsyld 156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
6452, 63mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
6564adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
66 disjsn 4711 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
6765, 66sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
68 hashun 14367 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
6948, 50, 67, 68syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
709eqcomi 2737 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐹) = 𝑁
71 opex 5460 . . . . . . . . . . 11 𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
72 hashsng 14354 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
7470, 73oveq12i 7426 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
7574a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
7644, 69, 753eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
7742, 76fveq12d 6898 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
78 ovexd 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
791, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9wlkp1lem1 29480 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
8078, 6, 793jca 1126 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
8180adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
82 fsnunfv 7190 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
8381, 82syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
8477, 83eqtr2d 2769 . . . . 5 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
8538, 41, 843eqtrd 2772 . . . 4 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
86 iscrct 29597 . . . 4 (𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
8720, 85, 86sylanbrc 582 . . 3 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄)
8818, 87jca 511 . 2 ((𝜑𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
8917, 88mpdan 686 1 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  cun 3943  cin 3944  wss 3945  c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  cop 4630   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  Fun wfun 6536  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135  0cn0 12496  ...cfz 13510  ..^cfzo 13653  chash 14315  Word cword 14490  Vtxcvtx 28802  iEdgciedg 28803  Edgcedg 28853  Walkscwlks 29403  Trailsctrls 29497  Circuitsccrcts 29591  EulerPathsceupth 30000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-wlks 29406  df-trls 29499  df-crcts 29593  df-eupth 30001
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator