Theorem eupth2eucrct 30811

Description: Append one path segment to an Eulerian path ⟨𝐹, 𝑃⟩ which may not be an (Eulerian) circuit to become an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. (Contributed by AV, 11-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
eupthp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
eupthp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
eupthp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
eupthp1.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eupthp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
eupthp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
eupthp1.u	⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
eupthp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
eupthp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
eupthp1.s	⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
eupthp1.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
eupth2eucrct.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
eupth2eucrct	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

Proof of Theorem eupth2eucrct

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthp1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eupthp1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eupthp1.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
4		eupthp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
5		eupthp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		eupthp1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		eupthp1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8		eupthp1.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
9		eupthp1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
10		eupthp1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11		eupthp1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12		eupthp1.u	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})
13		eupthp1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14		eupthp1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15		eupthp1.s	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝑆) = 𝑉
16		eupthp1.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑃‘𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	eupthp1 30810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
18		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄)
19		eupthistrl 30805	. . . . 5 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
20	19	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝑆)𝑄)
21		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
22		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
23	21, 22	eqeq12d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘) ↔ (𝑄‘0) = (𝑃‘0)))
24		eupthiswlk 30806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
25	8, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
26	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
27	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9, 10, 11, 26, 13, 14, 27	wlkp1lem5 30249	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
29	2	wlkf 30188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
30		lencl 14671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
31	9	eleq1i 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
32		0elfz 13751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
33	31, 32	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
34	30, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 0 ∈ (0...𝑁))
35	8, 24, 29, 34	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
36	23, 28, 35	rspcdva 3578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
37	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑃‘0))
38		eupth2eucrct.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑃‘0))
39	38	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝐶)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑃‘0) = 𝐶)
41	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
42	13	fveq2i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
44		wrdfin 14670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
45	8, 24, 29, 44	4syl 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐹 ∈ Fin)
47		snfi 9064	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin
48	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin)
49		wrddm 14659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
50	8, 24, 29, 49	4syl 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
51		fzonel 13801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹))
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
53	9	eleq1i 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
54	52, 53	sylnibr 332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
55		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
56	55	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
57	54, 56	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹))
58	9	fvexi 6897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 ∈ V
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
60	59, 5	opeldmd 5888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ dom 𝐹))
61	57, 60	nsyld 157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
62	50, 61	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
64		disjsn 4672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
65	63, 64	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅)
66		hashun 14519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∩ {⟨𝑁, 𝐵⟩}) = ∅) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
67	46, 48, 65, 66	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})))
68	9	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘𝐹) = 𝑁
69		opex 5432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
70		hashsng 14506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1)
71	69, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩}) = 1
72	68, 71	oveq12i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1)
73	72	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((♯‘𝐹) + (♯‘{⟨𝑁, 𝐵⟩})) = (𝑁 + 1))
74	43, 67, 73	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
75	41, 74	fveq12d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘(♯‘𝐻)) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)))
76		ovexd 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
77	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 25, 9	wlkp1lem1 30245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
78	76, 6, 77	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
79	78	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
80		fsnunfv 7190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
81	79, 80	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘(𝑁 + 1)) = 𝐶)
82	75, 81	eqtr2d 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐶 = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
83	37, 40, 82	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻)))
84		iscrct 30370	. . . 4 ⊢ (𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝑆)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(♯‘𝐻))))
85	20, 83, 84	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄)
86	18, 85	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄) → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))
87	17, 86	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝑆)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝑆)𝑄))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Fincfn 8966  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467  Word cword 14651  Vtxcvtx 29567  iEdgciedg 29568  Edgcedg 29618  Walkscwlks 30170  Trailsctrls 30266  Circuitsccrcts 30364  EulerPathsceupth 30791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-wlks 30173  df-trls 30268  df-crcts 30366  df-eupth 30792

This theorem is used by: (None)