MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3 29998
Description: Lemma for eupth2 30001. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupth2.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupth2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupth2.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupth2.h 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x 𝑋 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
eupth2.l (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜πΉ))
eupth2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
eupth2.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐻   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupth2.v . 2 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eupth2.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eupth2.f . 2 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 eupth2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 eupth2.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
6 eupthiswlk 29974 . . . 4 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 wlkcl 29381 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
9 eupth2.l . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜πΉ))
10 nn0p1elfzo 13681 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
114, 8, 9, 10syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
12 eupth2.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
13 eupthistrl 29973 . . 3 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
145, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
15 eupth2.h . . . . 5 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩
1615fveq2i 6888 . . . 4 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩)
171fvexi 6899 . . . . 5 𝑉 ∈ V
182fvexi 6899 . . . . . 6 𝐼 ∈ V
1918resex 6023 . . . . 5 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))) ∈ V
2017, 19opvtxfvi 28777 . . . 4 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉
2116, 20eqtri 2754 . . 3 (Vtxβ€˜π») = 𝑉
2221a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
23 snex 5424 . . . 4 {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩} ∈ V
2417, 23opvtxfvi 28777 . . 3 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = 𝑉
2524a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = 𝑉)
26 eupth2.x . . . . 5 𝑋 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
2726fveq2i 6888 . . . 4 (Vtxβ€˜π‘‹) = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
2818resex 6023 . . . . 5 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V
2917, 28opvtxfvi 28777 . . . 4 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉
3027, 29eqtri 2754 . . 3 (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉
3130a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
3215fveq2i 6888 . . . 4 (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩)
3317, 19opiedgfvi 28778 . . . 4 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
3432, 33eqtri 2754 . . 3 (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
3534a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
3617, 23opiedgfvi 28778 . . 3 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}
3736a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
3826fveq2i 6888 . . . 4 (iEdgβ€˜π‘‹) = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
3917, 28opiedgfvi 28778 . . . 4 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))
4038, 39eqtri 2754 . . 3 (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))
414nn0zd 12588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42 fzval3 13707 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
4342eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4441, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4544imaeq2d 6053 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 β€œ (0...𝑁)))
4645reseq2d 5975 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
4740, 46eqtrid 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
48 eupth2.o . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
49 2fveq3 6890 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
50 fveq2 6885 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘))
51 fvoveq1 7428 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
5250, 51preq12d 4740 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
5349, 52eqeq12d 2742 . . 3 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))
54 eupth2.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
555, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
562upgrwlkedg 29408 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
5754, 55, 56syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
5853, 57, 11rspcdva 3607 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
591, 2, 3, 11, 12, 14, 22, 25, 31, 35, 37, 47, 48, 58eupth2lem3lem7 29996 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295   βˆ₯ cdvds 16204  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UPGraphcupgr 28848  VtxDegcvtxdg 29231  Walkscwlks 29362  Trailsctrls 29456  EulerPathsceupth 29959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-ushgr 28827  df-upgr 28850  df-uspgr 28918  df-vtxdg 29232  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-eupth 29960
This theorem is referenced by:  eupth2lems  30000
  Copyright terms: Public domain W3C validator