Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3 28024
 Description: Lemma for eupth2 28027. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
eupth2.l (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
eupth2.u (𝜑𝑈𝑉)
eupth2.o (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupth2.v . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupth2.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupth2.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupth2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 eupth2.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
6 eupthiswlk 28000 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7 wlkcl 27408 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eupth2.l . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
10 nn0p1elfzo 13079 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
114, 8, 9, 10syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12 eupth2.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
13 eupthistrl 27999 . . 3 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
145, 13syl 17 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15 eupth2.h . . . . 5 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
1615fveq2i 6652 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
171fvexi 6663 . . . . 5 𝑉 ∈ V
182fvexi 6663 . . . . . 6 𝐼 ∈ V
1918resex 5870 . . . . 5 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V
2017, 19opvtxfvi 26805 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉
2116, 20eqtri 2824 . . 3 (Vtx‘𝐻) = 𝑉
2221a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
23 snex 5300 . . . 4 {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩} ∈ V
2417, 23opvtxfvi 26805 . . 3 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = 𝑉
2524a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
26 eupth2.x . . . . 5 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
2726fveq2i 6652 . . . 4 (Vtx‘𝑋) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
2818resex 5870 . . . . 5 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V
2917, 28opvtxfvi 26805 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉
3027, 29eqtri 2824 . . 3 (Vtx‘𝑋) = 𝑉
3130a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
3215fveq2i 6652 . . . 4 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
3317, 19opiedgfvi 26806 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3432, 33eqtri 2824 . . 3 (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3534a1i 11 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
3617, 23opiedgfvi 26806 . . 3 (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}
3736a1i 11 . 2 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
3826fveq2i 6652 . . . 4 (iEdg‘𝑋) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
3917, 28opiedgfvi 26806 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))
4038, 39eqtri 2824 . . 3 (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))
414nn0zd 12077 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42 fzval3 13105 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
4342eqcomd 2807 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4441, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4544imaeq2d 5900 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 “ (0...𝑁)))
4645reseq2d 5822 . . 3 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
4740, 46syl5eq 2848 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
48 eupth2.o . 2 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
49 2fveq3 6654 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑁)))
50 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
51 fvoveq1 7162 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
5250, 51preq12d 4640 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
5349, 52eqeq12d 2817 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
54 eupth2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
555, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
562upgrwlkedg 27434 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5754, 55, 56syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5853, 57, 11rspcdva 3576 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
591, 2, 3, 11, 12, 14, 22, 25, 31, 35, 37, 47, 48, 58eupth2lem3lem7 28022 1 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113  ∅c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528  {cpr 4530  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   ↾ cres 5525   “ cima 5526  Fun wfun 6322  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   ≤ cle 10669  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  ♯chash 13690   ∥ cdvds 15602  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  UPGraphcupgr 26876  VtxDegcvtxdg 27258  Walkscwlks 27389  Trailsctrls 27483  EulerPathsceupth 27985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-vtx 26794  df-iedg 26795  df-edg 26844  df-uhgr 26854  df-ushgr 26855  df-upgr 26878  df-uspgr 26946  df-vtxdg 27259  df-wlks 27392  df-trls 27485  df-eupth 27986 This theorem is referenced by:  eupth2lems  28026
 Copyright terms: Public domain W3C validator