MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3 27691
Description: Lemma for eupth2 27694. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupth2.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupth2.g (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupth2.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupth2.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
eupth2.l (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
eupth2.u (𝜑𝑈𝑉)
eupth2.o (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem eupth2lem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupth2.v . 2 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eupth2.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eupth2.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 eupth2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 eupth2.p . . . 4 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
6 eupthiswlk 27666 . . . 4 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
7 wlkcl 27068 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9 eupth2.l . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹))
10 nn0p1elfzo 12918 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
114, 8, 9, 10syl3anc 1362 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
12 eupth2.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
13 eupthistrl 27665 . . 3 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
145, 13syl 17 . 2 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
15 eupth2.h . . . . 5 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩
1615fveq2i 6533 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
171fvexi 6544 . . . . 5 𝑉 ∈ V
182fvexi 6544 . . . . . 6 𝐼 ∈ V
1918resex 5772 . . . . 5 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∈ V
2017, 19opvtxfvi 26465 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉
2116, 20eqtri 2817 . . 3 (Vtx‘𝐻) = 𝑉
2221a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
23 snex 5216 . . . 4 {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩} ∈ V
2417, 23opvtxfvi 26465 . . 3 (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = 𝑉
2524a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = 𝑉)
26 eupth2.x . . . . 5 𝑋 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
2726fveq2i 6533 . . . 4 (Vtx‘𝑋) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
2818resex 5772 . . . . 5 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V
2917, 28opvtxfvi 26465 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉
3027, 29eqtri 2817 . . 3 (Vtx‘𝑋) = 𝑉
3130a1i 11 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
3215fveq2i 6533 . . . 4 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩)
3317, 19opiedgfvi 26466 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3432, 33eqtri 2817 . . 3 (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁)))
3534a1i 11 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
3617, 23opiedgfvi 26466 . . 3 (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}
3736a1i 11 . 2 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}⟩) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
3826fveq2i 6533 . . . 4 (iEdg‘𝑋) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
3917, 28opiedgfvi 26466 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))
4038, 39eqtri 2817 . . 3 (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))))
414nn0zd 11923 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
42 fzval3 12944 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
4342eqcomd 2799 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4441, 43syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4544imaeq2d 5798 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 “ (0...𝑁)))
4645reseq2d 5726 . . 3 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
4740, 46syl5eq 2841 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
48 eupth2.o . 2 (𝜑 → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐻)‘𝑥)} = if((𝑃‘0) = (𝑃𝑁), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃𝑁)}))
49 2fveq3 6535 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐼‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑁)))
50 fveq2 6530 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))
51 fvoveq1 7030 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
5250, 51preq12d 4578 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
5349, 52eqeq12d 2808 . . 3 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))}))
54 eupth2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ UPGraph)
555, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
562upgrwlkedg 27094 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5754, 55, 56syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5853, 57, 11rspcdva 3560 . 2 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹𝑁)) = {(𝑃𝑁), (𝑃‘(𝑁 + 1))})
591, 2, 3, 11, 12, 14, 22, 25, 31, 35, 37, 47, 48, 58eupth2lem3lem7 27689 1 (𝜑 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝑋)‘𝑈) ↔ 𝑈 ∈ if((𝑃‘0) = (𝑃‘(𝑁 + 1)), ∅, {(𝑃‘0), (𝑃‘(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207   = wceq 1520  wcel 2079  wral 3103  {crab 3107  c0 4206  ifcif 4375  {csn 4466  {cpr 4468  cop 4472   class class class wbr 4956  cres 5437  cima 5438  Fun wfun 6211  cfv 6217  (class class class)co 7007  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375  cle 10511  2c2 11529  0cn0 11734  cz 11818  ...cfz 12731  ..^cfzo 12872  chash 13528  cdvds 15428  Vtxcvtx 26452  iEdgciedg 26453  UPGraphcupgr 26536  VtxDegcvtxdg 26918  Walkscwlks 27049  Trailsctrls 27145  EulerPathsceupth 27651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1054  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-dju 9165  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-xnn0 11805  df-z 11819  df-uz 12083  df-rp 12229  df-xadd 12347  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-word 13696  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-dvds 15429  df-vtx 26454  df-iedg 26455  df-edg 26504  df-uhgr 26514  df-ushgr 26515  df-upgr 26538  df-uspgr 26606  df-vtxdg 26919  df-wlks 27052  df-trls 27147  df-eupth 27652
This theorem is referenced by:  eupth2lems  27693
  Copyright terms: Public domain W3C validator