MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupth2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupth2lem3 29183
Description: Lemma for eupth2 29186. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupth2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eupth2.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eupth2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
eupth2.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
eupth2.p (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
eupth2.h 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩
eupth2.x 𝑋 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
eupth2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
eupth2.l (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜πΉ))
eupth2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
eupth2.o (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
Assertion
Ref Expression
eupth2lem3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐻   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem eupth2lem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eupth2.v . 2 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eupth2.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eupth2.f . 2 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 eupth2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5 eupth2.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
6 eupthiswlk 29159 . . . 4 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
7 wlkcl 28566 . . . 4 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
9 eupth2.l . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜πΉ))
10 nn0p1elfzo 13616 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ (𝑁 + 1) ≀ (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
114, 8, 9, 10syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
12 eupth2.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
13 eupthistrl 29158 . . 3 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
145, 13syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
15 eupth2.h . . . . 5 𝐻 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩
1615fveq2i 6846 . . . 4 (Vtxβ€˜π») = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩)
171fvexi 6857 . . . . 5 𝑉 ∈ V
182fvexi 6857 . . . . . 6 𝐼 ∈ V
1918resex 5986 . . . . 5 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))) ∈ V
2017, 19opvtxfvi 27963 . . . 4 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩) = 𝑉
2116, 20eqtri 2765 . . 3 (Vtxβ€˜π») = 𝑉
2221a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π») = 𝑉)
23 snex 5389 . . . 4 {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩} ∈ V
2417, 23opvtxfvi 27963 . . 3 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = 𝑉
2524a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = 𝑉)
26 eupth2.x . . . . 5 𝑋 = βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩
2726fveq2i 6846 . . . 4 (Vtxβ€˜π‘‹) = (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
2818resex 5986 . . . . 5 (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ V
2917, 28opvtxfvi 27963 . . . 4 (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = 𝑉
3027, 29eqtri 2765 . . 3 (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉
3130a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘‹) = 𝑉)
3215fveq2i 6846 . . . 4 (iEdgβ€˜π») = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩)
3317, 19opiedgfvi 27964 . . . 4 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
3432, 33eqtri 2765 . . 3 (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁)))
3534a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π») = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^𝑁))))
3617, 23opiedgfvi 27964 . . 3 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}
3736a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩}⟩) = {⟨(πΉβ€˜π‘), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘))⟩})
3826fveq2i 6846 . . . 4 (iEdgβ€˜π‘‹) = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩)
3917, 28opiedgfvi 27964 . . . 4 (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))⟩) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))
4038, 39eqtri 2765 . . 3 (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))))
414nn0zd 12526 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
42 fzval3 13642 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
4342eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4441, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
4544imaeq2d 6014 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1))) = (𝐹 β€œ (0...𝑁)))
4645reseq2d 5938 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
4740, 46eqtrid 2789 . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘‹) = (𝐼 β†Ύ (𝐹 β€œ (0...𝑁))))
48 eupth2.o . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π»)β€˜π‘₯)} = if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜π‘), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜π‘)}))
49 2fveq3 6848 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)))
50 fveq2 6843 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘))
51 fvoveq1 7381 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)))
5250, 51preq12d 4703 . . . 4 (π‘˜ = 𝑁 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
5349, 52eqeq12d 2753 . . 3 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ↔ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))}))
54 eupth2.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
555, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
562upgrwlkedg 28593 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
5754, 55, 56syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
5853, 57, 11rspcdva 3583 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = {(π‘ƒβ€˜π‘), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})
591, 2, 3, 11, 12, 14, 22, 25, 31, 35, 37, 47, 48, 58eupth2lem3lem7 29181 1 (πœ‘ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((VtxDegβ€˜π‘‹)β€˜π‘ˆ) ↔ π‘ˆ ∈ if((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1)), βˆ…, {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜(𝑁 + 1))})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3408  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ≀ cle 11191  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231   βˆ₯ cdvds 16137  Vtxcvtx 27950  iEdgciedg 27951  UPGraphcupgr 28034  VtxDegcvtxdg 28416  Walkscwlks 28547  Trailsctrls 28641  EulerPathsceupth 29144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-word 14404  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-vtx 27952  df-iedg 27953  df-edg 28002  df-uhgr 28012  df-ushgr 28013  df-upgr 28036  df-uspgr 28104  df-vtxdg 28417  df-wlks 28550  df-trls 28643  df-eupth 29145
This theorem is referenced by:  eupth2lems  29185
  Copyright terms: Public domain W3C validator