Theorem f1oprg 6828

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function, analogous to f1oprswap 6827. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 6824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
2	1	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵})
3		f1osng 6824	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷})
4	3	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷})
5		disjsn2 4671	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
6	5	ad2antrl 729	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
7		disjsn2 4671	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
8	7	ad2antll 730	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
9		f1oun 6801	. . . 4 ⊢ ((({⟨𝐴, 𝐵⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝐵} ∧ {⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐶}–1-1-onto→{𝐷}) ∧ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}))
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}))
11		df-pr 4585	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩})
12	11	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩})
14		df-pr 4585	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
15	14	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐶}
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐶})
17		df-pr 4585	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐷} = ({𝐵} ∪ {𝐷})
18	17	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ({𝐵} ∪ {𝐷}) = {𝐵, 𝐷}
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → ({𝐵} ∪ {𝐷}) = {𝐵, 𝐷})
20	13, 16, 19	f1oeq123d 6776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝐷⟩}):({𝐴} ∪ {𝐶})–1-1-onto→({𝐵} ∪ {𝐷}) ↔ {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))
21	10, 20	mpbid 232	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷)) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷})
22	21	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) → {⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩}:{𝐴, 𝐶}–1-1-onto→{𝐵, 𝐷}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  ⟨cop 4588  –1-1-onto→wf1o 6499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507

This theorem is referenced by:  f1prex  7240  en2prd  8996  s2f1o  14851  f1oun2prg  14852  symg2bas  19337  s2f1  33042  poimirlem9  37884  poimirlem15  37890