Theorem symg2bas 19454

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S₁, see Theorem symg1bas 19452. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {𝐽} = {𝐽}
4	1, 2, 3	symg1bas 19452	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
5	4	ad2antll 741	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		symg1bas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9		df-pr 4588	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10		sneq 4595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
11	10	uneq1d 4123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13		unidm 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
14	12, 13	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
15	9, 14	eqtrid 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
16	8, 15	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
17	16	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
18	7, 17	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
19	18	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
20	6, 19	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽)
22	21, 21	opeq12d 4842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
23	22	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
24	23	preq1d 4701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩
26		opex 5436	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
27	26, 26	preqsn 4823	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
28	25, 25, 27	mpbir2an 723	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
29	24, 28	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30		opeq1 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31		opeq2 4835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
32	30, 31	preq12d 4703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
33	32, 28	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
35	29, 34	preq12d 4703	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37		snex 5401	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
38	37, 37	preqsn 4823	. . . . 5 ⊢ ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
39	36, 36, 38	mpbir2an 723	. . . 4 ⊢ {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
40	35, 39	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
42	6	fvexi 6885	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44		neqne 2968	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
45	44	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
46		df-3an 1103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
47	45, 46	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
48	47	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
49	7, 6, 8	symg2hash 19453	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
50	48, 49	syl 18	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
52	51	ancri 558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
53		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ 𝑊)
54	53	ancri 558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊))
55	52, 54	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)))
56		df-ne 2961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
58	57	ancri 558	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
59	56, 58	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
60		f1oprg 6857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
61	60	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) ∧ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
62	55, 59, 61	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
65	63, 64, 64	f1oeq123d 6804	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
67	62, 66	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
68		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
69	7, 6	elsymgbas2 19434	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
71	67, 70	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72		f1oprswap 6856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
74	73, 64, 64	f1oeq123d 6804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
75	8, 74	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
76	72, 75	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
77	76	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
78		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
79	7, 6	elsymgbas2 19434	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
80	78, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
81	77, 80	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82		opex 5436	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
83	82, 26	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84		opex 5436	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85		opex 5436	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
86	84, 85	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
87	83, 86	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88		opthg2 5452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽)))
89		eqtr 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
90	88, 89	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
91	90	necon3d 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
92	91	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
93	56, 92	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
94	93	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
95	52	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
96		opthg 5450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
97	95, 96	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
98		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
99	97, 98	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
100	99	necon3d 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101	100	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
102	56, 101	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103	102	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
104	94, 103	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105	104	orcd 886	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106		prneimg 4815	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
107	87, 105, 106	mpsyl 69	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108		hash2prd 14502	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109	108	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
110	43, 50, 71, 81, 107, 109	syl23anc 1400	. 2 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
111	41, 110	pm2.61ian 823	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  2c2 12286  ♯chash 14357  Basecbs 17259  SymGrpcsymg 19430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-seq 14029  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-tset 17319  df-efmnd 18918  df-symg 19431

This theorem is referenced by:  psgnprfval  19582  m2detleiblem1  22742  m2detleiblem5  22743  m2detleiblem6  22744  m2detleiblem3  22747  m2detleiblem4  22748  m2detleib  22749