Theorem symg2bas 19587

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S₁, see Theorem symg1bas 19585. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝐽} = {𝐽}
4	1, 2, 3	symg1bas 19585	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
5	4	ad2antll 742	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		symg1bas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9		df-pr 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10		sneq 4594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
11	10	uneq1d 4114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13		unidm 4104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
14	12, 13	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
15	9, 14	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
16	8, 15	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
17	16	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
18	7, 17	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
19	18	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
20	6, 19	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽)
22	21, 21	opeq12d 4841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
24	23	preq1d 4700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩
26		opex 5432	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
27	26, 26	preqsn 4822	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
28	25, 25, 27	mpbir2an 724	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
29	24, 28	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30		opeq1 4833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31		opeq2 4834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
32	30, 31	preq12d 4702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
33	32, 28	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
35	29, 34	preq12d 4702	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37		snex 5397	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
38	37, 37	preqsn 4822	. . . . 5 ⊢ ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
39	36, 36, 38	mpbir2an 724	. . . 4 ⊢ {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
40	35, 39	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
42	6	fvexi 6891	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44		neqne 2964	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
45	44	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
46		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
47	45, 46	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
48	47	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
49	7, 6, 8	symg2hash 19586	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
50	48, 49	syl 18	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
52	51	ancri 559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
53		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ 𝑊)
54	53	ancri 559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊))
55	52, 54	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)))
56		df-ne 2957	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
58	57	ancri 559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
59	56, 58	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
60		f1oprg 6863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
61	60	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) ∧ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
62	55, 59, 61	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
65	63, 64, 64	f1oeq123d 6810	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
67	62, 66	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
68		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
69	7, 6	elsymgbas2 19567	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
71	67, 70	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72		f1oprswap 6862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
74	73, 64, 64	f1oeq123d 6810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
75	8, 74	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
76	72, 75	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
77	76	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
78		prex 5396	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
79	7, 6	elsymgbas2 19567	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
80	78, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
81	77, 80	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
83	82, 26	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
86	84, 85	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
87	83, 86	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88		opthg2 5448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽)))
89		eqtr 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
90	88, 89	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
91	90	necon3d 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
92	91	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
93	56, 92	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
94	93	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
95	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
96		opthg 5446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
97	95, 96	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
98		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
99	97, 98	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
100	99	necon3d 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101	100	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
102	56, 101	sylbir 238	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103	102	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
104	94, 103	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105	104	orcd 887	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106		prneimg 4814	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
107	87, 105, 106	mpsyl 69	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108		hash2prd 14600	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109	108	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
110	43, 50, 71, 81, 107, 109	syl23anc 1404	. 2 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
111	41, 110	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∪ cun 3897  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  2c2 12378  ♯chash 14454  Basecbs 17367  SymGrpcsymg 19563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-seq 14125  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-tset 17427  df-efmnd 19045  df-symg 19564

This theorem is used by:  psgnprfval  19715  m2detleiblem1  22919  m2detleiblem5  22920  m2detleiblem6  22921  m2detleiblem3  22924  m2detleiblem4  22925  m2detleib  22926