Theorem symg2bas 18915

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S₁, see Theorem symg1bas 18913. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝐽} = {𝐽}
4	1, 2, 3	symg1bas 18913	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
5	4	ad2antll 725	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		symg1bas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9		df-pr 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10		sneq 4568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
11	10	uneq1d 4092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13		unidm 4082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
14	12, 13	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
15	9, 14	eqtrid 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
16	8, 15	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
17	16	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
18	7, 17	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
19	18	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
20	6, 19	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽)
22	21, 21	opeq12d 4809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
24	23	preq1d 4672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩
26		opex 5373	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
27	26, 26	preqsn 4789	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
28	25, 25, 27	mpbir2an 707	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
29	24, 28	eqtrdi 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30		opeq1 4801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31		opeq2 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
32	30, 31	preq12d 4674	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
33	32, 28	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
35	29, 34	preq12d 4674	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37		snex 5349	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
38	37, 37	preqsn 4789	. . . . 5 ⊢ ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
39	36, 36, 38	mpbir2an 707	. . . 4 ⊢ {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
40	35, 39	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
42	6	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44		neqne 2950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
45	44	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
46		df-3an 1087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
47	45, 46	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
48	47	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
49	7, 6, 8	symg2hash 18914	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
52	51	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
53		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ 𝑊)
54	53	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊))
55	52, 54	anim12i 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)))
56		df-ne 2943	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
58	57	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
59	56, 58	sylbir 234	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
60		f1oprg 6744	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
61	60	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) ∧ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
62	55, 59, 61	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63		eqidd 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
65	63, 64, 64	f1oeq123d 6694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
67	62, 66	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
68		prex 5350	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
69	7, 6	elsymgbas2 18895	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
71	67, 70	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72		f1oprswap 6743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
74	73, 64, 64	f1oeq123d 6694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
75	8, 74	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
76	72, 75	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
77	76	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
78		prex 5350	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
79	7, 6	elsymgbas2 18895	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
80	78, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
81	77, 80	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82		opex 5373	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
83	82, 26	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84		opex 5373	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85		opex 5373	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
86	84, 85	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
87	83, 86	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88		opthg2 5388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽)))
89		eqtr 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
90	88, 89	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
91	90	necon3d 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
92	91	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
93	56, 92	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
94	93	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
95	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
96		opthg 5386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
98		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
99	97, 98	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
100	99	necon3d 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101	100	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
102	56, 101	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
104	94, 103	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105	104	orcd 869	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106		prneimg 4782	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
107	87, 105, 106	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108		hash2prd 14117	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109	108	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
110	43, 50, 71, 81, 107, 109	syl23anc 1375	. 2 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
111	41, 110	pm2.61ian 808	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  {csn 4558  {cpr 4560  ⟨cop 4564  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  2c2 11958  ♯chash 13972  Basecbs 16840  SymGrpcsymg 18889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-efmnd 18423  df-symg 18890

This theorem is referenced by:  psgnprfval  19044  m2detleiblem1  21681  m2detleiblem5  21682  m2detleiblem6  21683  m2detleiblem3  21686  m2detleiblem4  21687  m2detleib  21688