Theorem symg2bas 19330

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S₁, see Theorem symg1bas 19328. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ {𝐽} = {𝐽}
4	1, 2, 3	symg1bas 19328	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
5	4	ad2antll 729	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6		symg1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		symg1bas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9		df-pr 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10		sneq 4602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
11	10	uneq1d 4133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13		unidm 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
14	12, 13	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
15	9, 14	eqtrid 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
16	8, 15	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
17	16	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
18	7, 17	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
19	18	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
20	6, 19	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → 𝐼 = 𝐽)
22	21, 21	opeq12d 4848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
24	23	preq1d 4706	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩
26		opex 5427	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
27	26, 26	preqsn 4829	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
28	25, 25, 27	mpbir2an 711	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
29	24, 28	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30		opeq1 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31		opeq2 4841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
32	30, 31	preq12d 4708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
33	32, 28	eqtrdi 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
35	29, 34	preq12d 4708	. . . 4 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37		snex 5394	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
38	37, 37	preqsn 4829	. . . . 5 ⊢ ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
39	36, 36, 38	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
40	35, 39	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
42	6	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44		neqne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
45	44	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
46		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) ↔ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
47	45, 46	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
48	47	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
49	7, 6, 8	symg2hash 19329	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ 𝑉)
52	51	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
53		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → 𝐽 ∈ 𝑊)
54	53	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑊 → (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊))
55	52, 54	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)))
56		df-ne 2927	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → 𝐼 ≠ 𝐽)
58	57	ancri 549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
59	56, 58	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽))
60		f1oprg 6848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
61	60	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝐽 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) ∧ (𝐼 ≠ 𝐽 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
62	55, 59, 61	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
65	63, 64, 64	f1oeq123d 6797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
66	8, 65	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
67	62, 66	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
68		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
69	7, 6	elsymgbas2 19310	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
71	67, 70	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72		f1oprswap 6847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
74	73, 64, 64	f1oeq123d 6797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
75	8, 74	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
76	72, 75	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
77	76	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
78		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
79	7, 6	elsymgbas2 19310	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴))
80	78, 79	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴–1-1-onto→𝐴)
81	77, 80	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82		opex 5427	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
83	82, 26	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84		opex 5427	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85		opex 5427	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
86	84, 85	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
87	83, 86	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88		opthg2 5442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽)))
89		eqtr 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
90	88, 89	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
91	90	necon3d 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
92	91	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
93	56, 92	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
94	93	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
95	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉))
96		opthg 5440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼)))
98		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 = 𝐽 ∧ 𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
99	97, 98	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
100	99	necon3d 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → (𝐼 ≠ 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101	100	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≠ 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
102	56, 101	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103	102	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
104	94, 103	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105	104	orcd 873	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106		prneimg 4821	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
107	87, 105, 106	mpsyl 68	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108		hash2prd 14447	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109	108	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
110	43, 50, 71, 81, 107, 109	syl23anc 1379	. 2 ⊢ ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
111	41, 110	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ∪ cun 3915  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  2c2 12248  ♯chash 14302  Basecbs 17186  SymGrpcsymg 19306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-efmnd 18803  df-symg 19307

This theorem is referenced by:  psgnprfval  19458  m2detleiblem1  22518  m2detleiblem5  22519  m2detleiblem6  22520  m2detleiblem3  22523  m2detleiblem4  22524  m2detleib  22525