MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2bas 18641
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S1, see Theorem symg1bas 18639. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2bas ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3 eqid 2738 . . . . 5 {𝐽} = {𝐽}
41, 2, 3symg1bas 18639 . . . 4 (𝐽𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
54ad2antll 729 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 symg1bas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9 df-pr 4519 . . . . . . . . 9 {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10 sneq 4526 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
1110uneq1d 4052 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
1211adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13 unidm 4042 . . . . . . . . . 10 ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
1412, 13eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
159, 14syl5eq 2785 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
168, 15syl5eq 2785 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
1716fveq2d 6680 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
187, 17syl5eq 2785 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
1918fveq2d 6680 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
206, 19syl5eq 2785 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐽)
2221, 21opeq12d 4769 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2322adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2423preq1d 4630 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25 eqid 2738 . . . . . . 7 𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽
26 opex 5322 . . . . . . . 8 𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
2726, 26preqsn 4747 . . . . . . 7 ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
2825, 25, 27mpbir2an 711 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
2924, 28eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30 opeq1 4759 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31 opeq2 4761 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
3230, 31preq12d 4632 . . . . . . 7 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
3332, 28eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3433adantr 484 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3529, 34preq12d 4632 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36 eqid 2738 . . . . 5 {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37 snex 5298 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
3837, 37preqsn 4747 . . . . 5 ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
3936, 36, 38mpbir2an 711 . . . 4 {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
4035, 39eqtrdi 2789 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
415, 20, 403eqtr4d 2783 . 2 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
426fvexi 6690 . . . 4 𝐵 ∈ V
4342a1i 11 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44 neqne 2942 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
4544anim2i 620 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
46 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
4745, 46sylibr 237 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
4847ancoms 462 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
497, 6, 8symg2hash 18640 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
5048, 49syl 17 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
5251ancri 553 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
53 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽𝑊𝐽𝑊)
5453ancri 553 . . . . . . 7 (𝐽𝑊 → (𝐽𝑊𝐽𝑊))
5552, 54anim12i 616 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)))
56 df-ne 2935 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
5857ancri 553 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
5956, 58sylbir 238 . . . . . 6 𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
60 f1oprg 6664 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) → ((𝐼𝐽𝐼𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
6160imp 410 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) ∧ (𝐼𝐽𝐼𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6255, 59, 61syl2anr 600 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63 eqidd 2739 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
6563, 64, 64f1oeq123d 6614 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
668, 65ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6762, 66sylibr 237 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
68 prex 5299 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
697, 6elsymgbas2 18621 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
7068, 69ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7167, 70sylibr 237 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72 f1oprswap 6663 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
7473, 64, 64f1oeq123d 6614 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
758, 74ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
7672, 75sylibr 237 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7776adantl 485 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
78 prex 5299 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
797, 6elsymgbas2 18621 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
8078, 79ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
8177, 80sylibr 237 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82 opex 5322 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
8382, 26pm3.2i 474 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84 opex 5322 . . . . . 6 𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85 opex 5322 . . . . . 6 𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
8684, 85pm3.2i 474 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
8783, 86pm3.2i 474 . . . 4 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88 opthg2 5337 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽)))
89 eqtr 2758 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
9088, 89syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
9190necon3d 2955 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9291com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9356, 92sylbir 238 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9493imp 410 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9552adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
96 opthg 5335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
98 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
9997, 98syl6bi 256 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
10099necon3d 2955 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101100com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
10256, 101sylbir 238 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103102imp 410 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
10494, 103jca 515 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105104orcd 872 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106 prneimg 4740 . . . 4 (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
10787, 105, 106mpsyl 68 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108 hash2prd 13929 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109108imp 410 . . 3 (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11043, 50, 71, 81, 107, 109syl23anc 1378 . 2 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11141, 110pm2.61ian 812 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  cun 3841  {csn 4516  {cpr 4518  cop 4522  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  2c2 11773  chash 13784  Basecbs 16588  SymGrpcsymg 18615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-oadd 8137  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-dju 9405  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-7 11786  df-8 11787  df-9 11788  df-n0 11979  df-xnn0 12051  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-seq 13463  df-fac 13728  df-bc 13757  df-hash 13785  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-tset 16689  df-efmnd 18152  df-symg 18616
This theorem is referenced by:  psgnprfval  18769  m2detleiblem1  21377  m2detleiblem5  21378  m2detleiblem6  21379  m2detleiblem3  21382  m2detleiblem4  21383  m2detleib  21384
  Copyright terms: Public domain W3C validator