MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2bas 19301
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S1, see Theorem symg1bas 19299. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2bas ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . 5 (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2 eqid 2730 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3 eqid 2730 . . . . 5 {𝐽} = {𝐽}
41, 2, 3symg1bas 19299 . . . 4 (𝐽𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
54ad2antll 725 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 symg1bas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9 df-pr 4630 . . . . . . . . 9 {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10 sneq 4637 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
1110uneq1d 4161 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
1211adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13 unidm 4151 . . . . . . . . . 10 ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
1412, 13eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
159, 14eqtrid 2782 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
168, 15eqtrid 2782 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
1716fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
187, 17eqtrid 2782 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
1918fveq2d 6894 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
206, 19eqtrid 2782 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐽)
2221, 21opeq12d 4880 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2423preq1d 4742 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25 eqid 2730 . . . . . . 7 𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽
26 opex 5463 . . . . . . . 8 𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
2726, 26preqsn 4861 . . . . . . 7 ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
2825, 25, 27mpbir2an 707 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
2924, 28eqtrdi 2786 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30 opeq1 4872 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31 opeq2 4873 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
3230, 31preq12d 4744 . . . . . . 7 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
3332, 28eqtrdi 2786 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3433adantr 479 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3529, 34preq12d 4744 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36 eqid 2730 . . . . 5 {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37 snex 5430 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
3837, 37preqsn 4861 . . . . 5 ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
3936, 36, 38mpbir2an 707 . . . 4 {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
4035, 39eqtrdi 2786 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
415, 20, 403eqtr4d 2780 . 2 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
426fvexi 6904 . . . 4 𝐵 ∈ V
4342a1i 11 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44 neqne 2946 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
4544anim2i 615 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
46 df-3an 1087 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
4745, 46sylibr 233 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
4847ancoms 457 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
497, 6, 8symg2hash 19300 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
5048, 49syl 17 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
5251ancri 548 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
53 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽𝑊𝐽𝑊)
5453ancri 548 . . . . . . 7 (𝐽𝑊 → (𝐽𝑊𝐽𝑊))
5552, 54anim12i 611 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)))
56 df-ne 2939 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
5857ancri 548 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
5956, 58sylbir 234 . . . . . 6 𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
60 f1oprg 6877 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) → ((𝐼𝐽𝐼𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
6160imp 405 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) ∧ (𝐼𝐽𝐼𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6255, 59, 61syl2anr 595 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63 eqidd 2731 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
6563, 64, 64f1oeq123d 6826 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
668, 65ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6762, 66sylibr 233 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
68 prex 5431 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
697, 6elsymgbas2 19281 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
7068, 69ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7167, 70sylibr 233 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72 f1oprswap 6876 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
7473, 64, 64f1oeq123d 6826 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
758, 74ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
7672, 75sylibr 233 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7776adantl 480 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
78 prex 5431 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
797, 6elsymgbas2 19281 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
8078, 79ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
8177, 80sylibr 233 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82 opex 5463 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
8382, 26pm3.2i 469 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84 opex 5463 . . . . . 6 𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85 opex 5463 . . . . . 6 𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
8684, 85pm3.2i 469 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
8783, 86pm3.2i 469 . . . 4 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88 opthg2 5478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽)))
89 eqtr 2753 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
9088, 89syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
9190necon3d 2959 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9291com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9356, 92sylbir 234 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9493imp 405 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9552adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
96 opthg 5476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
98 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
9997, 98syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
10099necon3d 2959 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101100com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
10256, 101sylbir 234 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103102imp 405 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
10494, 103jca 510 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105104orcd 869 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106 prneimg 4854 . . . 4 (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
10787, 105, 106mpsyl 68 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108 hash2prd 14440 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109108imp 405 . . 3 (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11043, 50, 71, 81, 107, 109syl23anc 1375 . 2 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11141, 110pm2.61ian 808 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  Vcvv 3472  cun 3945  {csn 4627  {cpr 4629  cop 4633  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  2c2 12271  chash 14294  Basecbs 17148  SymGrpcsymg 19275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-seq 13971  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-efmnd 18786  df-symg 19276
This theorem is referenced by:  psgnprfval  19430  m2detleiblem1  22346  m2detleiblem5  22347  m2detleiblem6  22348  m2detleiblem3  22351  m2detleiblem4  22352  m2detleib  22353
  Copyright terms: Public domain W3C validator