MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symg2bas 19181
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. Notice that this statement is valid for proper pairs only. In the case that both elements are identical, i.e., the pairs are actually singletons, this theorem would be about S1, see Theorem symg1bas 19179. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg2bas.0 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
Assertion
Ref Expression
symg2bas ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (SymGrp‘{𝐽}) = (SymGrp‘{𝐽})
2 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽}))
3 eqid 2737 . . . . 5 {𝐽} = {𝐽}
41, 2, 3symg1bas 19179 . . . 4 (𝐽𝑊 → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
54ad2antll 728 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘(SymGrp‘{𝐽})) = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
6 symg1bas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 symg1bas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8 𝐴 = {𝐼, 𝐽}
9 df-pr 4594 . . . . . . . . 9 {𝐼, 𝐽} = ({𝐼} ∪ {𝐽})
10 sneq 4601 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → {𝐼} = {𝐽})
1110uneq1d 4127 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 = 𝐽 → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
1211adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = ({𝐽} ∪ {𝐽}))
13 unidm 4117 . . . . . . . . . 10 ({𝐽} ∪ {𝐽}) = {𝐽}
1412, 13eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ({𝐼} ∪ {𝐽}) = {𝐽})
159, 14eqtrid 2789 . . . . . . . 8 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {𝐼, 𝐽} = {𝐽})
168, 15eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐴 = {𝐽})
1716fveq2d 6851 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘{𝐽}))
187, 17eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐺 = (SymGrp‘{𝐽}))
1918fveq2d 6851 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (Base‘𝐺) = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
206, 19eqtrid 2789 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = (Base‘(SymGrp‘{𝐽})))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐽)
2221, 21opeq12d 4843 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
2423preq1d 4705 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
25 eqid 2737 . . . . . . 7 𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽
26 opex 5426 . . . . . . . 8 𝐽, 𝐽⟩ ∈ V
2726, 26preqsn 4824 . . . . . . 7 ({⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ↔ (⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩))
2825, 25, 27mpbir2an 710 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
2924, 28eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
30 opeq1 4835 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐼, 𝐽⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
31 opeq2 4836 . . . . . . . 8 (𝐼 = 𝐽 → ⟨𝐽, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐽⟩)
3230, 31preq12d 4707 . . . . . . 7 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
3332, 28eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝐼 = 𝐽 → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3433adantr 482 . . . . 5 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩})
3529, 34preq12d 4707 . . . 4 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}})
36 eqid 2737 . . . . 5 {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}
37 snex 5393 . . . . . 6 {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
3837, 37preqsn 4824 . . . . 5 ({{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}} ↔ ({⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩} ∧ {⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐽, 𝐽⟩}))
3936, 36, 38mpbir2an 710 . . . 4 {{⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐽, 𝐽⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}}
4035, 39eqtrdi 2793 . . 3 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}} = {{⟨𝐽, 𝐽⟩}})
415, 20, 403eqtr4d 2787 . 2 ((𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
426fvexi 6861 . . . 4 𝐵 ∈ V
4342a1i 11 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 ∈ V)
44 neqne 2952 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽𝐼𝐽)
4544anim2i 618 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
46 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) ↔ ((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ 𝐼𝐽))
4745, 46sylibr 233 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝑊) ∧ ¬ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
4847ancoms 460 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽))
497, 6, 8symg2hash 19180 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐽𝑊𝐼𝐽) → (♯‘𝐵) = 2)
5048, 49syl 17 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (♯‘𝐵) = 2)
51 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
5251ancri 551 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
53 id 22 . . . . . . . 8 (𝐽𝑊𝐽𝑊)
5453ancri 551 . . . . . . 7 (𝐽𝑊 → (𝐽𝑊𝐽𝑊))
5552, 54anim12i 614 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)))
56 df-ne 2945 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
57 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽𝐼𝐽)
5857ancri 551 . . . . . . 7 (𝐼𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
5956, 58sylbir 234 . . . . . 6 𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐽𝐼𝐽))
60 f1oprg 6834 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) → ((𝐼𝐽𝐼𝐽) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
6160imp 408 . . . . . 6 ((((𝐼𝑉𝐼𝑉) ∧ (𝐽𝑊𝐽𝑊)) ∧ (𝐼𝐽𝐼𝐽)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6255, 59, 61syl2anr 598 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
63 eqidd 2738 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} = {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩})
64 id 22 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → 𝐴 = {𝐼, 𝐽})
6563, 64, 64f1oeq123d 6783 . . . . . 6 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
668, 65ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
6762, 66sylibr 233 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
68 prex 5394 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V
697, 6elsymgbas2 19161 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
7068, 69ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7167, 70sylibr 233 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵)
72 f1oprswap 6833 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
73 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} = {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
7473, 64, 64f1oeq123d 6783 . . . . . . 7 (𝐴 = {𝐼, 𝐽} → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
758, 74ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:{𝐼, 𝐽}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
7672, 75sylibr 233 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
7776adantl 483 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
78 prex 5394 . . . . 5 {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V
797, 6elsymgbas2 19161 . . . . 5 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ V → ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴))
8078, 79ax-mp 5 . . . 4 ({⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ↔ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}:𝐴1-1-onto𝐴)
8177, 80sylibr 233 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵)
82 opex 5426 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
8382, 26pm3.2i 472 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V)
84 opex 5426 . . . . . 6 𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
85 opex 5426 . . . . . 6 𝐽, 𝐼⟩ ∈ V
8684, 85pm3.2i 472 . . . . 5 (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)
8783, 86pm3.2i 472 . . . 4 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V))
88 opthg2 5441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ ↔ (𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽)))
89 eqtr 2760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐼𝐼 = 𝐽) → 𝐼 = 𝐽)
9088, 89syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐼, 𝐽⟩ → 𝐼 = 𝐽))
9190necon3d 2965 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9291com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9356, 92sylbir 234 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩))
9493imp 408 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9552adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝑉𝐼𝑉))
96 opthg 5439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ ↔ (𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼)))
98 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 = 𝐽𝐼 = 𝐼) → 𝐼 = 𝐽)
9997, 98syl6bi 253 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ = ⟨𝐽, 𝐼⟩ → 𝐼 = 𝐽))
10099necon3d 2965 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → (𝐼𝐽 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
101100com12 32 . . . . . . . 8 (𝐼𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
10256, 101sylbir 234 . . . . . . 7 𝐼 = 𝐽 → ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
103102imp 408 . . . . . 6 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)
10494, 103jca 513 . . . . 5 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → (⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩))
105104orcd 872 . . . 4 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)))
106 prneimg 4817 . . . 4 (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ∈ V) ∧ (⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V ∧ ⟨𝐽, 𝐼⟩ ∈ V)) → (((⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩) ∨ (⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∧ ⟨𝐽, 𝐽⟩ ≠ ⟨𝐽, 𝐼⟩)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}))
10787, 105, 106mpsyl 68 . . 3 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})
108 hash2prd 14381 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) → (({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}}))
109108imp 408 . . 3 (((𝐵 ∈ V ∧ (♯‘𝐵) = 2) ∧ ({⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩} ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩} ≠ {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩})) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11043, 50, 71, 81, 107, 109syl23anc 1378 . 2 ((¬ 𝐼 = 𝐽 ∧ (𝐼𝑉𝐽𝑊)) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
11141, 110pm2.61ian 811 1 ((𝐼𝑉𝐽𝑊) → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩, ⟨𝐽, 𝐽⟩}, {⟨𝐼, 𝐽⟩, ⟨𝐽, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  cun 3913  {csn 4591  {cpr 4593  cop 4597  1-1-ontowf1o 6500  cfv 6501  2c2 12215  chash 14237  Basecbs 17090  SymGrpcsymg 19155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-tset 17159  df-efmnd 18686  df-symg 19156
This theorem is referenced by:  psgnprfval  19310  m2detleiblem1  21989  m2detleiblem5  21990  m2detleiblem6  21991  m2detleiblem3  21994  m2detleiblem4  21995  m2detleib  21996
  Copyright terms: Public domain W3C validator