Theorem f1oun2prg 14830

Description: A union of unordered pairs of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oun2prg	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))

Proof of Theorem f1oun2prg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		0z 12485	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
4	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		1z 12508	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
7	5, 6	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
8	7	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑊))
9	4, 8	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)))
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝐵)
12		0ne1 12202	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
13	11, 12	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
16		f1oprg 6814	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
17	9, 15, 16	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
18		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → 𝐶 ∈ 𝑋)
19		2nn 12204	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	18, 19	jctil 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → 𝐷 ∈ 𝑌)
23		3nn 12210	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
24	22, 23	jctil 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
26	21, 25	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)))
28		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐷 → 𝐶 ≠ 𝐷)
29	28	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐷)
30		2re 12205	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
31		2lt3 12298	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
32	30, 31	ltneii 11232	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 3
33	29, 32	jctil 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
36		f1oprg 6814	. . . 4 ⊢ (((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → ((2 ≠ 3 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}))
37	27, 35, 36	sylc 65	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷})
38		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
39	38	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
40		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
42	39, 41	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
44		df-pr 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
45	44	ineq1i 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
46	45	eqeq1i 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
47		undisj1 4411	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
48	46, 47	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
49	43, 48	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
50		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
51	50	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
52		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
54	51, 53	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
56	44	ineq1i 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
57	56	eqeq1i 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
58		undisj1 4411	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
59	57, 58	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
60	55, 59	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
61	49, 60	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
62		undisj2 4412	. . . . . 6 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
63		df-pr 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
64	63	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐶} ∪ {𝐷}) = {𝐶, 𝐷}
65	64	ineq2i 4166	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷})
66	65	eqeq1i 2736	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅ ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
67	62, 66	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
68	61, 67	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
69		df-pr 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ {0, 1} = ({0} ∪ {1})
70	69	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ∪ {1}) = {0, 1}
71	70	ineq1i 4165	. . . . . . 7 ⊢ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ({0, 1} ∩ {2})
72		0ne2 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
73		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 2 → ({0} ∩ {2}) = ∅)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ∩ {2}) = ∅
75		1ne2 12334	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 2
76		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 2 → ({1} ∩ {2}) = ∅)
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({1} ∩ {2}) = ∅
78	74, 77	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅)
79		undisj1 4411	. . . . . . . 8 ⊢ ((({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅)
80	78, 79	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅
81	71, 80	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
82	70	ineq1i 4165	. . . . . . 7 ⊢ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ({0, 1} ∩ {3})
83		3ne0 12237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
84	83	necomi 2982	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 3
85		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ≠ 3 → ({0} ∩ {3}) = ∅)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ∩ {3}) = ∅
87		1re 11118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
88		1lt3 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 3
89	87, 88	ltneii 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 3
90		disjsn2 4664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 3 → ({1} ∩ {3}) = ∅)
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({1} ∩ {3}) = ∅
92	86, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅)
93		undisj1 4411	. . . . . . . 8 ⊢ ((({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅)
94	92, 93	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅
95	82, 94	eqtr3i 2756	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅
96	81, 95	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅)
97		undisj2 4412	. . . . . 6 ⊢ ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅)
98		df-pr 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ {2, 3} = ({2} ∪ {3})
99	98	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ({2} ∪ {3}) = {2, 3}
100	99	ineq2i 4166	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ({0, 1} ∩ {2, 3})
101	100	eqeq1i 2736	. . . . . 6 ⊢ (({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅ ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
102	97, 101	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
103	96, 102	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
104	68, 103	jctil 519	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅))
105		f1oun 6788	. . 3 ⊢ ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}) ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
106	17, 37, 104, 105	syl21anc 837	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
107	106	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4282  {csn 4575  {cpr 4577  ⟨cop 4581  –1-1-onto→wf1o 6486  0cc0 11012  1c1 11013  ℕcn 12131  2c2 12186  3c3 12187  ℤcz 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-z 12475

This theorem is referenced by:  s4f1o  14831