MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oun2prg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oun2prg 14806
Description: A union of unordered pairs of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
f1oun2prg (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))

Proof of Theorem f1oun2prg
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
2 0z 12510 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
31, 2jctil 520 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
43ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉))
5 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
6 1z 12533 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
75, 6jctil 520 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
87ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊))
94, 8jca 512 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)))
10 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
11103ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐵)
12 0ne1 12224 . . . . . . 7 0 ≠ 1
1311, 12jctil 520 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1413adantr 481 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
1514adantl 482 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵))
16 f1oprg 6829 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑉) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑊)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
179, 15, 16sylc 65 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
18 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐶𝑋)
19 2nn 12226 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2018, 19jctil 520 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
2120adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋))
22 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → 𝐷𝑌)
23 3nn 12232 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
2422, 23jctil 520 . . . . . . 7 ((𝐶𝑋𝐷𝑌) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2524adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌))
2621, 25jca 512 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
2726adantr 481 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)))
28 id 22 . . . . . . . 8 (𝐶𝐷𝐶𝐷)
29283ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
30 2re 12227 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
31 2lt3 12325 . . . . . . . 8 2 < 3
3230, 31ltneii 11268 . . . . . . 7 2 ≠ 3
3329, 32jctil 520 . . . . . 6 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3433adantl 482 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
3534adantl 482 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷))
36 f1oprg 6829 . . . 4 (((2 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑋) ∧ (3 ∈ ℕ ∧ 𝐷𝑌)) → ((2 ≠ 3 ∧ 𝐶𝐷) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}))
3727, 35, 36sylc 65 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷})
38 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
39383ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
40 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
41403ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
4239, 41anim12i 613 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
44 df-pr 4589 . . . . . . . . . 10 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
4544ineq1i 4168 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
4645eqeq1i 2741 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
47 undisj1 4421 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ∅)
4846, 47bitr4i 277 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
4943, 48sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
50 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
51503ad2ant3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
52 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
53523ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
5451, 53anim12i 613 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5554adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
5644ineq1i 4168 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
5756eqeq1i 2741 . . . . . . . 8 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
58 undisj1 4421 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = ∅)
5957, 58bitr4i 277 . . . . . . 7 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅ ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
6055, 59sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
6149, 60jca 512 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
62 undisj2 4422 . . . . . 6 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
63 df-pr 4589 . . . . . . . . 9 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
6463eqcomi 2745 . . . . . . . 8 ({𝐶} ∪ {𝐷}) = {𝐶, 𝐷}
6564ineq2i 4169 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷})
6665eqeq1i 2741 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅ ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6762, 66bitri 274 . . . . 5 ((({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
6861, 67sylib 217 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
69 df-pr 4589 . . . . . . . . 9 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
7069eqcomi 2745 . . . . . . . 8 ({0} ∪ {1}) = {0, 1}
7170ineq1i 4168 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ({0, 1} ∩ {2})
72 0ne2 12360 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
73 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 2 → ({0} ∩ {2}) = ∅)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {2}) = ∅
75 1ne2 12361 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
76 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 2 → ({1} ∩ {2}) = ∅)
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {2}) = ∅
7874, 77pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅)
79 undisj1 4421 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {2}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅)
8078, 79mpbi 229 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {2}) = ∅
8171, 80eqtr3i 2766 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {2}) = ∅
8270ineq1i 4168 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ({0, 1} ∩ {3})
83 3ne0 12259 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
8483necomi 2998 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 3
85 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (0 ≠ 3 → ({0} ∩ {3}) = ∅)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({0} ∩ {3}) = ∅
87 1re 11155 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
88 1lt3 12326 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
8987, 88ltneii 11268 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
90 disjsn2 4673 . . . . . . . . . 10 (1 ≠ 3 → ({1} ∩ {3}) = ∅)
9189, 90ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({1} ∩ {3}) = ∅
9286, 91pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅)
93 undisj1 4421 . . . . . . . 8 ((({0} ∩ {3}) = ∅ ∧ ({1} ∩ {3}) = ∅) ↔ (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅)
9492, 93mpbi 229 . . . . . . 7 (({0} ∪ {1}) ∩ {3}) = ∅
9582, 94eqtr3i 2766 . . . . . 6 ({0, 1} ∩ {3}) = ∅
9681, 95pm3.2i 471 . . . . 5 (({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅)
97 undisj2 4422 . . . . . 6 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅)
98 df-pr 4589 . . . . . . . . 9 {2, 3} = ({2} ∪ {3})
9998eqcomi 2745 . . . . . . . 8 ({2} ∪ {3}) = {2, 3}
10099ineq2i 4169 . . . . . . 7 ({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ({0, 1} ∩ {2, 3})
101100eqeq1i 2741 . . . . . 6 (({0, 1} ∩ ({2} ∪ {3})) = ∅ ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10297, 101bitri 274 . . . . 5 ((({0, 1} ∩ {2}) = ∅ ∧ ({0, 1} ∩ {3}) = ∅) ↔ ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅)
10396, 102mpbi 229 . . . 4 ({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅
10468, 103jctil 520 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅))
105 f1oun 6803 . . 3 ((({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ∧ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}:{2, 3}–1-1-onto→{𝐶, 𝐷}) ∧ (({0, 1} ∩ {2, 3}) = ∅ ∧ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
10617, 37, 104, 105syl21anc 836 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷))) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷}))
107106ex 413 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}):({0, 1} ∪ {2, 3})–1-1-onto→({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶, 𝐷})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  cin 3909  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588  cop 4592  1-1-ontowf1o 6495  0cc0 11051  1c1 11052  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  cz 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-z 12500
This theorem is referenced by:  s4f1o  14807
  Copyright terms: Public domain W3C validator