MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1oeq123d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1oeq123d 6603
Description: Equality deduction for one-to-one onto functions. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
f1eq123d.1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
f1eq123d.2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
f1eq123d.3 (𝜑𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
f1oeq123d (𝜑 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐺:𝐵1-1-onto𝐷))

Proof of Theorem f1oeq123d
StepHypRef Expression
1 f1eq123d.1 . . 3 (𝜑𝐹 = 𝐺)
2 f1oeq1 6597 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐶))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐺:𝐴1-1-onto𝐶))
4 f1eq123d.2 . . 3 (𝜑𝐴 = 𝐵)
5 f1oeq2 6598 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐺:𝐴1-1-onto𝐶𝐺:𝐵1-1-onto𝐶))
64, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐴1-1-onto𝐶𝐺:𝐵1-1-onto𝐶))
7 f1eq123d.3 . . 3 (𝜑𝐶 = 𝐷)
8 f1oeq3 6599 . . 3 (𝐶 = 𝐷 → (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐵1-1-onto𝐷))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺:𝐵1-1-onto𝐶𝐺:𝐵1-1-onto𝐷))
103, 6, 93bitrd 307 1 (𝜑 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐺:𝐵1-1-onto𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208   = wceq 1530  1-1-ontowf1o 6347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-rab 3145  df-v 3495  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-br 5058  df-opab 5120  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355
This theorem is referenced by:  f1oprswap  6651  f1oprg  6652  f1ossf1o  6883  cnfcom  9155  ackbij2lem2  9654  s2f1o  14270  s4f1o  14272  idffth  17195  ressffth  17200  symgval  18489  symg1bas  18511  symg2bas  18513  symgfixels  18554  symgfixelsi  18555  rhmf1o  19476  mat1f1o  21079  ushgredgedg  27003  ushgredgedgloop  27005  trlreslem  27473  wlknwwlksnbij  27658  wwlksnextbij  27672  clwlknf1oclwwlkn  27855  eupth0  27985  eupthp1  27987  foresf1o  30257  f1ocnt  30517  symgcom  30720  cycpmcl  30751  cycpmconjslem2  30790  dimkerim  31011  indf1ofs  31273  eulerpartgbij  31618  eulerpartlemn  31627  reprpmtf1o  31885  poimirlem16  34895  poimirlem17  34896  poimirlem19  34898  poimirlem20  34899  poimirlem28  34907  wessf1ornlem  41429  disjf1o  41436  ssnnf1octb  41440  sge0fodjrnlem  42683  f1oresf1orab  43473  isomgr  43973  rnghmf1o  44159
  Copyright terms: Public domain W3C validator