Theorem s2f1o 15047

Description: A length 2 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2f1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem s2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		0z 12685	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	jctil 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		1z 12707	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	4, 5	jctil 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
7	3, 6	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
8		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		0ne1 12395	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
10	8, 9	jctil 529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
11		f1oprg 6863	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
12	7, 10, 11	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
13		eqcom 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸)
14		s2prop 15038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	14	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
16	15	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
17	13, 16	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
18	17	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸)
19	18	f1oeq1d 6811	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ↔ 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
20	12, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
21	20	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {cpr 4586  ⟨cop 4590  –1-1-onto→wf1o 6530  0cc0 11181  1c1 11182  ℤcz 12674  ⟨“cs2 14972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979

This theorem is used by: (None)