Theorem s2f1o 14557

Description: A length 2 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2f1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem s2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		0z 12260	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	jctil 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4		simpl2 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		1z 12280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	4, 5	jctil 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
7	3, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
8		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		0ne1 11974	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
10	8, 9	jctil 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
11		f1oprg 6744	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
12	7, 10, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
13		eqcom 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸)
14		s2prop 14548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	14	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
16	15	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
17	13, 16	syl5bb 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
18	17	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸)
19	18	f1oeq1d 6695	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ↔ 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
20	12, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
21	20	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {cpr 4560  ⟨cop 4564  –1-1-onto→wf1o 6417  0cc0 10802  1c1 10803  ℤcz 12249  ⟨“cs2 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489

This theorem is referenced by: (None)