Theorem s2f1o 14955

Description: A length 2 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2f1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem s2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		0z 12603	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	jctil 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		1z 12625	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	4, 5	jctil 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
7	3, 6	jca 520	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
8		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		0ne1 12313	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
10	8, 9	jctil 528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
11		f1oprg 6869	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
12	7, 10, 11	sylc 66	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
13		eqcom 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸)
14		s2prop 14946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	14	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
16	15	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
17	13, 16	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
18	17	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸)
19	18	f1oeq1d 6817	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ↔ 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
20	12, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
21	20	ex 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {cpr 4592  ⟨cop 4596  –1-1-onto→wf1o 6537  0cc0 11101  1c1 11102  ℤcz 12592  ⟨“cs2 14880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887

This theorem is referenced by: (None)