Theorem s2f1o 14728

Description: A length 2 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2f1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem s2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		0z 12431	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	jctil 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		1z 12451	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	4, 5	jctil 520	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
7	3, 6	jca 512	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
8		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		0ne1 12145	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
10	8, 9	jctil 520	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
11		f1oprg 6812	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
12	7, 10, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
13		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸)
14		s2prop 14719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	14	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
16	15	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
17	13, 16	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
18	17	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸)
19	18	f1oeq1d 6762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ↔ 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
20	12, 19	mpbid 231	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
21	20	ex 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  {cpr 4575  ⟨cop 4579  –1-1-onto→wf1o 6478  0cc0 10972  1c1 10973  ℤcz 12420  ⟨“cs2 14653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-s2 14660

This theorem is referenced by: (None)