Theorem s2f1o 14878

Description: A length 2 word with mutually different symbols is a one-to-one function onto the set of the symbols. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s2f1o	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem s2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		0z 12535	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
3	1, 2	jctil 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
4		simpl2 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		1z 12557	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
6	4, 5	jctil 519	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
7	3, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
8		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐴 ≠ 𝐵)
9		0ne1 12252	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
10	8, 9	jctil 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → (0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
11		f1oprg 6826	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
12	7, 10, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
13		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸)
14		s2prop 14869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
15	14	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
16	15	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ = 𝐸 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
17	13, 16	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸))
18	17	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} = 𝐸)
19	18	f1oeq1d 6775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵} ↔ 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))
20	12, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩) → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵})
21	20	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐸 = ⟨“𝐴𝐵”⟩ → 𝐸:{0, 1}–1-1-onto→{𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {cpr 4569  ⟨cop 4573  –1-1-onto→wf1o 6497  0cc0 11038  1c1 11039  ℤcz 12524  ⟨“cs2 14803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810

This theorem is referenced by: (None)