Theorem s2f1 32578

Description: Conditions for a length 2 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2f1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2f1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s2f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
s2f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s2f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12484	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s2f1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		1nn0 12485	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6		s2f1.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
7		0ne1 12280	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
9		s2f1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
10		f1oprg 6868	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
11	10	3impia 1114	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
12	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11	syl222anc 1383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
13		s2prop 14855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
14	3, 6, 13	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
15	14	f1oeq1d 6818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
16	12, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
17		f1of1 6822	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
19	3, 6	prssd 4817	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20		f1ss 6783	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
21	18, 19, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
22		f1dm 6781	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
24		f1eq2 6773	. . 3 ⊢ (dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1} → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
26	21, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3940  {cpr 4622  ⟨cop 4626  dom cdm 5666  –1-1→wf1 6530  –1-1-onto→wf1o 6532  0cc0 11106  1c1 11107  ℕ₀cn0 12469  ⟨“cs2 14789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  32746  cycpm2cl  32747  cyc2fv1  32748  cyc2fv2  32749  cycpmco2  32760  cyc2fvx  32761  cyc3co2  32767  cyc3conja  32784