Theorem s2f1 33031

Description: Conditions for a length 2 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2f1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2f1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s2f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
s2f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s2f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s2f1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		1nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6		s2f1.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
7		0ne1 12250	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
9		s2f1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
10		f1oprg 6820	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
11	10	3impia 1123	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
12	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11	syl222anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
13		s2prop 14867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
14	3, 6, 13	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
15	14	f1oeq1d 6769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
16	12, 15	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
17		f1of1 6773	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
19	3, 6	prssd 4760	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20		f1ss 6735	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
21	18, 19, 20	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
22		f1dm 6734	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
24		f1eq2 6726	. . 3 ⊢ (dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1} → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
26	21, 25	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890  {cpr 4564  ⟨cop 4568  dom cdm 5625  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  0cc0 11036  1c1 11037  ℕ₀cn0 12435  ⟨“cs2 14801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33207  cycpm2cl  33208  cyc2fv1  33209  cyc2fv2  33210  cycpmco2  33221  cyc2fvx  33222  cyc3co2  33228  cyc3conja  33245