Theorem s2f1 33300

Description: Conditions for a length 2 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2f1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2f1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s2f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
s2f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s2f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12537	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s2f1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		1nn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6		s2f1.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
7		0ne1 12330	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
9		s2f1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
10		f1oprg 6874	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
11	10	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
12	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11	syl222anc 1413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
13		s2prop 14970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
14	3, 6, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
15	14	f1oeq1d 6822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
16	12, 15	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
17		f1of1 6826	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
18	16, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
19	3, 6	prssd 4793	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20		f1ss 6788	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
22		f1dm 6787	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
24		f1eq2 6777	. . 3 ⊢ (dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1} → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
25	23, 24	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
26	21, 25	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ⊆ wss 3908  {cpr 4596  ⟨cop 4600  dom cdm 5666  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  0cc0 11118  1c1 11119  ℕ₀cn0 12522  ⟨“cs2 14904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911

This theorem is used by:  cycpm2tr  33470  cycpm2cl  33471  cyc2fv1  33472  cyc2fv2  33473  cycpmco2  33484  cyc2fvx  33485  cyc3co2  33491  cyc3conja  33508