Theorem s2f1 32925

Description: Conditions for a length 2 string to be a one-to-one function. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2f1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
s2f1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
s2f1.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
s2f1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Proof of Theorem s2f1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3		s2f1.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐷)
4		1nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
6		s2f1.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐷)
7		0ne1 12316	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 1)
9		s2f1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝐽)
10		f1oprg 6868	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷)) → ((0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
11	10	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ 𝐷) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 𝐼 ≠ 𝐽)) → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
12	2, 3, 5, 6, 8, 9, 11	syl222anc 1388	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
13		s2prop 14931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
14	3, 6, 13	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩})
15	14	f1oeq1d 6818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} ↔ {⟨0, 𝐼⟩, ⟨1, 𝐽⟩}:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽}))
16	12, 15	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽})
17		f1of1 6822	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1-onto→{𝐼, 𝐽} → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽})
19	3, 6	prssd 4803	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷)
20		f1ss 6784	. . 3 ⊢ ((⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→{𝐼, 𝐽} ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ 𝐷) → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷)
22		f1dm 6783	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1})
24		f1eq2 6775	. . 3 ⊢ (dom ⟨“𝐼𝐽”⟩ = {0, 1} → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
25	23, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷 ↔ ⟨“𝐼𝐽”⟩:{0, 1}–1-1→𝐷))
26	21, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐼𝐽”⟩:dom ⟨“𝐼𝐽”⟩–1-1→𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  {cpr 4608  ⟨cop 4612  dom cdm 5659  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  0cc0 11134  1c1 11135  ℕ₀cn0 12506  ⟨“cs2 14865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872

This theorem is referenced by:  cycpm2tr  33135  cycpm2cl  33136  cyc2fv1  33137  cyc2fv2  33138  cycpmco2  33149  cyc2fvx  33150  cyc3co2  33156  cyc3conja  33173