MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1orescnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1orescnv 6800
Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
f1orescnv ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6797 . . 3 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃(𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
21adantl 483 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
3 funcnvres 6580 . . . 4 (Fun 𝐹(𝐹𝑅) = (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)))
4 df-ima 5647 . . . . . 6 (𝐹𝑅) = ran (𝐹𝑅)
5 dff1o5 6794 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 ↔ ((𝐹𝑅):𝑅1-1𝑃 ∧ ran (𝐹𝑅) = 𝑃))
65simprbi 498 . . . . . 6 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → ran (𝐹𝑅) = 𝑃)
74, 6eqtrid 2789 . . . . 5 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹𝑅) = 𝑃)
87reseq2d 5938 . . . 4 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)) = (𝐹𝑃))
93, 8sylan9eq 2797 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑃))
109f1oeq1d 6780 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
112, 10mpbid 231 1 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  ccnv 5633  ran crn 5635  cres 5636  cima 5637  Fun wfun 6491  1-1wf1 6494  1-1-ontowf1o 6496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504
This theorem is referenced by:  f1oresrab  7074  relogf1o  25925
  Copyright terms: Public domain W3C validator