MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1orescnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1orescnv 6848
Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
f1orescnv ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)

Proof of Theorem f1orescnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6845 . . 3 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃(𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
21adantl 481 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅)
3 funcnvres 6626 . . . 4 (Fun 𝐹(𝐹𝑅) = (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)))
4 df-ima 5689 . . . . . 6 (𝐹𝑅) = ran (𝐹𝑅)
5 dff1o5 6842 . . . . . . 7 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 ↔ ((𝐹𝑅):𝑅1-1𝑃 ∧ ran (𝐹𝑅) = 𝑃))
65simprbi 496 . . . . . 6 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → ran (𝐹𝑅) = 𝑃)
74, 6eqtrid 2783 . . . . 5 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹𝑅) = 𝑃)
87reseq2d 5981 . . . 4 ((𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃 → (𝐹 ↾ (𝐹𝑅)) = (𝐹𝑃))
93, 8sylan9eq 2791 . . 3 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑅) = (𝐹𝑃))
109f1oeq1d 6828 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → ((𝐹𝑅):𝑃1-1-onto𝑅 ↔ (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅))
112, 10mpbid 231 1 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹𝑅):𝑅1-1-onto𝑃) → (𝐹𝑃):𝑃1-1-onto𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  ccnv 5675  ran crn 5677  cres 5678  cima 5679  Fun wfun 6537  1-1wf1 6540  1-1-ontowf1o 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550
This theorem is referenced by:  f1oresrab  7127  relogf1o  26415
  Copyright terms: Public domain W3C validator