MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ores 6608
Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1ores ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))

Proof of Theorem f1ores
StepHypRef Expression
1 f1ssres 6561 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
2 f1f1orn 6605 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
4 df-ima 5536 . . 3 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
5 f1oeq3 6585 . . 3 ((𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶)))
64, 5ax-mp 5 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
73, 6sylibr 237 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wss 3884  ran crn 5524  cres 5525  cima 5526  1-1wf1 6325  1-1-ontowf1o 6327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-br 5034  df-opab 5096  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335
This theorem is referenced by:  f1imacnv  6610  f1oresrab  6870  isores3  7071  isoini2  7075  f1imaeng  8556  f1imaen2g  8557  domunsncan  8604  php3  8691  ssfi  8726  infdifsn  9108  infxpenlem  9428  ackbij2lem2  9655  fin1a2lem6  9820  grothomex  10244  fsumss  15078  ackbijnn  15179  fprodss  15298  unbenlem  16238  eqgen  18329  symgfixelsi  18559  gsumval3lem1  19022  gsumval3lem2  19023  gsumzaddlem  19038  lindsmm  20521  coe1mul2lem2  20901  tsmsf1o  22754  ovoliunlem1  24110  dvcnvrelem2  24625  logf1o2  25245  dvlog  25246  ushgredgedg  27023  ushgredgedgloop  27025  trlreslem  27493  adjbd1o  29872  rinvf1o  30393  padct  30485  indf1ofs  31399  eulerpartgbij  31744  eulerpartlemgh  31750  ballotlemfrc  31898  reprpmtf1o  32011  erdsze2lem2  32565  poimirlem4  35060  poimirlem9  35065  ismtyres  35245  pwfi2f1o  40037  sge0f1o  43018  f1oresf1o  43843
  Copyright terms: Public domain W3C validator