MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ores 6799
Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1ores ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐢))

Proof of Theorem f1ores
StepHypRef Expression
1 f1ssres 6747 . . 3 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1→𝐡)
2 f1f1orn 6796 . . 3 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1→𝐡 β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐢))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐢))
4 df-ima 5647 . . 3 (𝐹 β€œ 𝐢) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐢)
5 f1oeq3 6775 . . 3 ((𝐹 β€œ 𝐢) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐢) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐢) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐢)))
64, 5ax-mp 5 . 2 ((𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐢) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’ran (𝐹 β†Ύ 𝐢))
73, 6sylibr 233 1 ((𝐹:𝐴–1-1→𝐡 ∧ 𝐢 βŠ† 𝐴) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐢):𝐢–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   βŠ† wss 3911  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  β€“1-1β†’wf1 6494  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504
This theorem is referenced by:  f1imacnv  6801  f1oresrab  7074  isores3  7281  isoini2  7285  f1imaeng  8955  f1imaen2g  8956  domunsncan  9017  ssfiALT  9119  f1imaenfi  9143  php3  9157  php3OLD  9169  infdifsn  9594  infxpenlem  9950  ackbij2lem2  10177  fin1a2lem6  10342  grothomex  10766  fsumss  15611  ackbijnn  15714  fprodss  15832  unbenlem  16781  eqgen  18984  symgfixelsi  19218  gsumval3lem1  19683  gsumval3lem2  19684  gsumzaddlem  19699  lindsmm  21237  coe1mul2lem2  21642  tsmsf1o  23499  ovoliunlem1  24869  dvcnvrelem2  25385  logf1o2  26008  dvlog  26009  ushgredgedg  28180  ushgredgedgloop  28182  trlreslem  28650  adjbd1o  31030  rinvf1o  31547  padct  31639  indf1ofs  32628  eulerpartgbij  32975  eulerpartlemgh  32981  ballotlemfrc  33129  reprpmtf1o  33242  erdsze2lem2  33801  poimirlem4  36085  poimirlem9  36090  ismtyres  36270  pwfi2f1o  41426  sge0f1o  44630  f1oresf1o  45529
  Copyright terms: Public domain W3C validator