MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ores Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ores 6623
Description: The restriction of a one-to-one function maps one-to-one onto the image. (Contributed by NM, 25-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
f1ores ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))

Proof of Theorem f1ores
StepHypRef Expression
1 f1ssres 6576 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵)
2 f1f1orn 6620 . . 3 ((𝐹𝐶):𝐶1-1𝐵 → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
31, 2syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
4 df-ima 5562 . . 3 (𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶)
5 f1oeq3 6600 . . 3 ((𝐹𝐶) = ran (𝐹𝐶) → ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶)))
64, 5ax-mp 5 . 2 ((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→ran (𝐹𝐶))
73, 6sylibr 235 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wss 3935  ran crn 5550  cres 5551  cima 5552  1-1wf1 6346  1-1-ontowf1o 6348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356
This theorem is referenced by:  f1imacnv  6625  f1oresrab  6882  isores3  7077  isoini2  7081  f1imaeng  8558  f1imaen2g  8559  domunsncan  8606  php3  8692  ssfi  8727  infdifsn  9109  infxpenlem  9428  ackbij2lem2  9651  fin1a2lem6  9816  grothomex  10240  fsumss  15072  ackbijnn  15173  fprodss  15292  unbenlem  16234  eqgen  18273  symgfixelsi  18494  gsumval3lem1  18956  gsumval3lem2  18957  gsumzaddlem  18972  coe1mul2lem2  20366  lindsmm  20902  tsmsf1o  22682  ovoliunlem1  24032  dvcnvrelem2  24544  logf1o2  25160  dvlog  25161  ushgredgedg  26939  ushgredgedgloop  26941  trlreslem  27409  adjbd1o  29790  rinvf1o  30304  padct  30382  indf1ofs  31185  eulerpartgbij  31530  eulerpartlemgh  31536  ballotlemfrc  31684  reprpmtf1o  31797  erdsze2lem2  32349  poimirlem4  34778  poimirlem9  34783  ismtyres  34969  pwfi2f1o  39576  sge0f1o  42545  f1oresf1o  43370
  Copyright terms: Public domain W3C validator