Theorem f1oeq1d 6820

Description: Equality deduction for one-to-one onto functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem f1oeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		f1oeq1 6813	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569  –1-1-onto→wf1o 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546

This theorem is used by:  f1orescnv  6841  f1osng  6868  f1ocoima  7312  f1ofvswap  7315  dif1en  9181  cnfcomlem  9704  cnfcom2  9707  cnfcom3clem  9710  infxpenc  10101  infxpenc2lem2  10103  infxpenc2  10105  canthp1lem2  10742  pwfseqlem5  10752  pwfseq  10753  s2f1o  15073  s4f1o  15075  bitsf1ocnv  16620  yonffthlem  18462  grplactcnv  19259  eqgen  19399  znunithash  21876  tgpconncompeqg  24437  fcobijfs  33360  fcobijfs2  33361  indf1o  33478  s2f1  33557  ccatws1f1o  33561  mgcf1o  33611  gsummpt2d  33657  gsumwrd2dccat  33686  vonf1onprcf1ac  35964  subfacp1lem3  36034  subfacp1lem5  36036  ismrer1  38866  hvmap1o  42914  3f1oss2  48240  idfu1stf1o  50309  imaidfu  50320  fucoppc  50639  lmdran  50948