Theorem f1oeq1d 6817

Description: Equality deduction for one-to-one onto functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1oeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1d	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem f1oeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)
2		f1oeq1 6810	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570  –1-1-onto→wf1o 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544

This theorem is used by:  f1orescnv  6838  f1osng  6865  f1ocoima  7309  f1ofvswap  7312  dif1en  9170  cnfcomlem  9693  cnfcom2  9696  cnfcom3clem  9699  infxpenc  10090  infxpenc2lem2  10092  infxpenc2  10094  canthp1lem2  10731  pwfseqlem5  10741  pwfseq  10742  s2f1o  15060  s4f1o  15062  bitsf1ocnv  16607  yonffthlem  18449  grplactcnv  19246  eqgen  19386  znunithash  21863  tgpconncompeqg  24424  fcobijfs  33306  fcobijfs2  33307  indf1o  33424  s2f1  33503  ccatws1f1o  33507  mgcf1o  33557  gsummpt2d  33603  gsumwrd2dccat  33632  subfacp1lem3  35926  subfacp1lem5  35928  ismrer1  38752  hvmap1o  42800  3f1oss2  48115  idfu1stf1o  50176  imaidfu  50187  fucoppc  50487  lmdran  50748