Theorem relogf1o 24831

Description: The natural logarithm function maps the positive reals one-to-one onto the real numbers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
relogf1o	⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ

Proof of Theorem relogf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff1o2 24828	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0})
2		dff1o3 6489	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) ↔ ((exp ↾ ran log):ran log–onto→(ℂ ∖ {0}) ∧ Fun ◡(exp ↾ ran log)))
3	2	simprbi 497	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ran log):ran log–1-1-onto→(ℂ ∖ {0}) → Fun ◡(exp ↾ ran log))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ◡(exp ↾ ran log)
5		reeff1o 24718	. . . 4 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
6		relogrn 24826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ran log)
7	6	ssriv 3893	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ran log
8		resabs1 5764	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ran log → ((exp ↾ ran log) ↾ ℝ) = (exp ↾ ℝ))
9		f1oeq1 6472	. . . . 5 ⊢ (((exp ↾ ran log) ↾ ℝ) = (exp ↾ ℝ) → (((exp ↾ ran log) ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+))
10	7, 8, 9	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (((exp ↾ ran log) ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
11	5, 10	mpbir 232	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ran log) ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
12		f1orescnv 6498	. . 3 ⊢ ((Fun ◡(exp ↾ ran log) ∧ ((exp ↾ ran log) ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+) → (◡(exp ↾ ran log) ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ)
13	4, 11, 12	mp2an 688	. 2 ⊢ (◡(exp ↾ ran log) ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
14		dflog2 24825	. . 3 ⊢ log = ◡(exp ↾ ran log)
15		reseq1 5728	. . 3 ⊢ (log = ◡(exp ↾ ran log) → (log ↾ ℝ+) = (◡(exp ↾ ran log) ↾ ℝ+))
16		f1oeq1 6472	. . 3 ⊢ ((log ↾ ℝ+) = (◡(exp ↾ ran log) ↾ ℝ+) → ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ↔ (◡(exp ↾ ran log) ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ))
17	14, 15, 16	mp2b 10	. 2 ⊢ ((log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ ↔ (◡(exp ↾ ran log) ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ)
18	13, 17	mpbir 232	1 ⊢ (log ↾ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∖ cdif 3856   ⊆ wss 3859  {csn 4472  ^◡ccnv 5442  ran crn 5444   ↾ cres 5445  Fun wfun 6219  –onto→wfo 6223  –1-1-onto→wf1o 6224  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383  ℝ⁺crp 12239  expce 15248  logclog 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821

This theorem is referenced by:  relogcl  24840  relogcn  24902  advlog  24918  advlogexp  24919  logccv  24927  dvcxp1  25002  loglesqrt  25020  amgmlem  25249  logdivsum  25791  log2sumbnd  25802  amgmwlem  44383