Theorem fcdmssb 7123

Description: A function is a function into a subset of its codomain if all of its values are elements of this subset. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmssb	⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐴⟶𝑊 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑉))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fcdmssb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉)
2		ffn 6710	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑊 → 𝐹 Fn 𝐴)
3	1, 2	anim12ci 626	. . 3 ⊢ (((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑊) → (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉))
4		ffnfv 7120	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝑉 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉))
5	3, 4	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑊) → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
6		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) → 𝑉 ⊆ 𝑊)
7	6	anim1ci 628	. . 3 ⊢ (((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑉) → (𝐹:𝐴⟶𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊))
8		fss 6727	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑊) → 𝐹:𝐴⟶𝑊)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑉) → 𝐹:𝐴⟶𝑊)
10	5, 9	impbida 813	1 ⊢ ((𝑉 ⊆ 𝑊 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑉) → (𝐹:𝐴⟶𝑊 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547

This theorem is used by:  wlkdlem1  30267  0prjspnrel  43757