Theorem rnmptss 7128

Description: The range of an operation given by the maps-to notation as a subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmptss.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rnmptss	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem rnmptss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptss.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	fmpt 7115	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 ↔ 𝐹:𝐴⟶𝐶)
3		frn 6722	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)
4	2, 3	sylbi 220	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652  ⟶wf 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547

This theorem is used by:  rnmptssd  7129  mptexw  7969  iunon  8354  iinon  8355  gruiun  10891  subdrgint  21069  smadiadetlem3lem2  22991  tgiun  23306  ustuqtop0  24568  metustss  24879  efabl  26887  efsubm  26888  fnpreimac  33315  prodindf  33479  swrdrn2  33567  gsummpt2co  33659  psgnfzto1stlem  33711  elrgspnsubrunlem1  33858  nsgmgc  34013  nsgqusf1olem1  34014  algextdeglem2  34400  algextdeglem4  34402  locfinreflem  34522  rspectopn  34549  zarcls  34556  zartopn  34557  gsumesum  34741  esumlub  34742  esumgect  34772  esum2d  34775  ldgenpisyslem1  34846  sxbrsigalem0  34953  omscl  34977  omsmon  34980  carsgclctunlem2  35001  carsgclctunlem3  35002  pmeasadd  35007  hgt750lemb  35335  mnurndlem2  45375  suprnmpt  46297  rnmptssrn  46305  wessf1ornlem  46308  rnmptssbi  46380  liminflelimsuplem  46893  fourierdlem53  47277  fourierdlem111  47335  ioorrnopnlem  47422  salexct3  47460  salgensscntex  47462  sge0rnre  47482  sge0tsms  47498  sge0cl  47499  sge0fsum  47505  sge0sup  47509  sge0gerp  47513  sge0pnffigt  47514  sge0lefi  47516  sge0xaddlem1  47551  sge0xaddlem2  47552  meadjiunlem  47583