Theorem wlkdlem1 30291

Description: Lemma 1 for wlkd 30295. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkdlem1.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wrdf 14690	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4		wlkd.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
5	4	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
6		wlkd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
7		lencl 14705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word V → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
10		fzval3 13896	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
12	5, 11	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
13	12	feq2d 6715	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V))
14		ssv 3937	. . . 4 ⊢ 𝑉 ⊆ V
15		wlkdlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
16		fcdmssb 7146	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ⊆ V ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
18	13, 17	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
19	3, 18	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ...cfz 13666  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  Word cword 14685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686

This theorem is used by:  wlkd  30295