Theorem wlkdlem1 30266

Description: Lemma 1 for wlkd 30270. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkdlem1.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wrdf 14666	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4		wlkd.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
5	4	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
6		wlkd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
7		lencl 14681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word V → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
10		fzval3 13872	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
12	5, 11	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
13	12	feq2d 6693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V))
14		ssv 3932	. . . 4 ⊢ 𝑉 ⊆ V
15		wlkdlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
16		fcdmssb 7122	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ⊆ V ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
18	13, 17	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
19	3, 18	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ...cfz 13642  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662

This theorem is used by:  wlkd  30270