Theorem wlkdlem1 29827

Description: Lemma 1 for wlkd 29831. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkdlem1.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wrdf 14528	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4		wlkd.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
5	4	oveq2d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
6		wlkd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
7		lencl 14543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word V → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
10		fzval3 13737	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
12	5, 11	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
13	12	feq2d 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V))
14		ssv 3960	. . . 4 ⊢ 𝑉 ⊆ V
15		wlkdlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
16		fcdmssb 7099	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ⊆ V ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
17	14, 15, 16	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
18	13, 17	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
19	3, 18	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524

This theorem is referenced by:  wlkd  29831