Theorem wlkdlem1 29617

Description: Lemma 1 for wlkd 29621. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkdlem1.v	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem1	⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem wlkdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wrdf 14490	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4		wlkd.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
5	4	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
6		wlkd.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
7		lencl 14505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word V → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
10		fzval3 13702	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
12	5, 11	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
13	12	feq2d 6675	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V))
14		ssv 3974	. . . 4 ⊢ 𝑉 ⊆ V
15		wlkdlem1.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
16		fcdmssb 7097	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ⊆ V ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
18	13, 17	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
19	3, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486

This theorem is referenced by:  wlkd  29621