Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkdlem1 27456
 Description: Lemma 1 for wlkd 27460. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (𝜑𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkdlem1.v (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkdlem1 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem wlkdlem1
StepHypRef Expression
1 wlkd.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 13858 . . 3 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4 wlkd.l . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
54oveq2d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
6 wlkd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word V)
7 lencl 13875 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word V → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
10 fzval3 13098 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
125, 11eqtr4d 2857 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
1312feq2d 6493 . . 3 (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V))
14 ssv 3989 . . . 4 𝑉 ⊆ V
15 wlkdlem1.v . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
16 frnssb 6878 . . . 4 ((𝑉 ⊆ V ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
1714, 15, 16sylancr 589 . . 3 (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
1813, 17bitrd 281 . 2 (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
193, 18mpbid 234 1 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ...cfz 12884  ..^cfzo 13025  ♯chash 13682  Word cword 13853 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-hash 13683  df-word 13854 This theorem is referenced by:  wlkd  27460
 Copyright terms: Public domain W3C validator