MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkdlem1 29524
Description: Lemma 1 for wlkd 29528. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p (𝜑𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f (𝜑𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
wlkdlem1.v (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkdlem1 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem wlkdlem1
StepHypRef Expression
1 wlkd.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
2 wrdf 14511 . . 3 (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V)
4 wlkd.l . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
54oveq2d 7442 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
6 wlkd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word V)
7 lencl 14525 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word V → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
98nn0zd 12624 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
10 fzval3 13743 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
125, 11eqtr4d 2771 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑃)) = (0...(♯‘𝐹)))
1312feq2d 6713 . . 3 (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V))
14 ssv 4006 . . . 4 𝑉 ⊆ V
15 wlkdlem1.v . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
16 fcdmssb 7137 . . . 4 ((𝑉 ⊆ V ∧ ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
1714, 15, 16sylancr 585 . . 3 (𝜑 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
1813, 17bitrd 278 . 2 (𝜑 → (𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶V ↔ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
193, 18mpbid 231 1 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  wss 3949  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151  0cn0 12512  cz 12598  ...cfz 13526  ..^cfzo 13669  chash 14331  Word cword 14506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507
This theorem is referenced by:  wlkd  29528
  Copyright terms: Public domain W3C validator