Theorem fnfvrnss 7119

Description: An upper bound for range determined by function values. (Contributed by NM, 8-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvrnss	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fnfvrnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 7117	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
2		frn 6715	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylbir 238	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ran crn 5652   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545

This theorem is used by:  ffvresb  7124  dffi3  9416  infxpenlem  10085  alephsing  10347  seqexw  14153  sgnrn  15244  mgmn0plusgf  18820  srgfcl  20415  mplind  22372  1stckgenlem  23865  psmetxrge0  24625  plyreres  26597  aannenlem1  26648  bdayn0sf1o  28749  dfnns2  28751  subuhgr  29860  subupgr  29861  subumgr  29862  subusgr  29863  elrspunidl  33971  rmulccn  34553  esumfsup  34695  sxbrsigalem3  34897  sitgf  34972  ctbssinf  38309  dihf11lem  42303  hdmaprnN  42901  hgmaprnN  42938  ofoafg  44340  naddcnff  44348  ntrrn  45107  mnurndlem1  45250  volicoff  46974  dirkercncflem2  47083  fourierdlem15  47101  fourierdlem42  47128  tmachlem-extpcover  47924  grimuhgr  48954  slotresfo  49976