Theorem fnfvrnss 6994

Description: An upper bound for range determined by function values. (Contributed by NM, 8-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvrnss	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fnfvrnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 6992	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
2		frn 6607	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylbir 234	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ran crn 5590   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441

This theorem is referenced by:  ffvresb  6998  dffi3  9190  infxpenlem  9769  alephsing  10032  seqexw  13737  srgfcl  19751  mplind  21278  1stckgenlem  22704  psmetxrge0  23466  plyreres  25443  aannenlem1  25488  subuhgr  27653  subupgr  27654  subumgr  27655  subusgr  27656  elrspunidl  31606  rmulccn  31878  esumfsup  32038  sxbrsigalem3  32239  sitgf  32314  ctbssinf  35577  dihf11lem  39280  hdmaprnN  39878  hgmaprnN  39915  ntrrn  41732  mnurndlem1  41899  volicoff  43536  dirkercncflem2  43645  fourierdlem15  43663  fourierdlem42  43690