Theorem fnfvrnss 7120

Description: An upper bound for range determined by function values. (Contributed by NM, 8-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvrnss	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fnfvrnss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 7118	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
2		frn 6717	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
3	1, 2	sylbir 238	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548

This theorem is used by:  ffvresb  7125  dffi3  9394  infxpenlem  10009  alephsing  10271  seqexw  14067  sgnrn  15155  srgfcl  20302  mplind  22251  1stckgenlem  23741  psmetxrge0  24501  plyreres  26475  aannenlem1  26522  bdayn0sf1o  28594  dfnns2  28596  subuhgr  29670  subupgr  29671  subumgr  29672  subusgr  29673  elrspunidl  33776  rmulccn  34358  esumfsup  34500  sxbrsigalem3  34703  sitgf  34778  ctbssinf  38085  dihf11lem  42073  hdmaprnN  42671  hgmaprnN  42708  ofoafg  44114  naddcnff  44122  ntrrn  44881  mnurndlem1  45024  volicoff  46742  dirkercncflem2  46851  fourierdlem15  46869  fourierdlem42  46896  grimuhgr  48685  slotresfo  49710