Theorem 0prjspnrel 42622

Description: In the zero-dimensional projective space, all vectors are equivalent to the unit vector. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnrel.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
0prjspnrel.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnrel.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
0prjspnrel.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
0prjspnrel.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnrel.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnrel	⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑥, 1 ,𝑦,𝑙   𝑥,𝑆,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem 0prjspnrel

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		0prjspnrel.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3		0prjspnrel.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspnrel.1	. . . 4 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
5	2, 3, 4	0prjspnlem 42618	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
7		sneq 4602	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → {𝑛} = {(𝑋‘0)})
8	7	xpeq2d 5671	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → ((0...0) × {𝑛}) = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
9	8	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)})))
10		ovexd 7425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0...0) ∈ V)
11		difss 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
12	2, 11	eqsstri 3996	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
13	12	sseli 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17	3, 15, 16	frlmbasf 21676	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
18	10, 14, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
19		c0ex 11175	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
20	19	snid 4629	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
21		fz0sn 13595	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
22	20, 21	eleqtrri 2828	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...0)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0...0))
24	18, 23	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
25	3, 15, 16	frlmbasmap 21675	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
26	10, 14, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
27		fvex 6874	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
28	21, 27, 19	mapsnconst 8868	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
29	26, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
30	9, 24, 29	rspcedvdw 3594	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ (Base‘𝐾)𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))
31		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 1 ) = (𝑛 · 1 ))
32	31	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑋 = (𝑚 · 1 ) ↔ 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
33		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
34		0prjspnrel.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
35	33, 34	eleqtrrdi 2840	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ 𝑆)
36		ovexd 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (0...0) ∈ V)
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
38	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ 𝐵)
39	12, 38	sselid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑊))
40		0prjspnrel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
42	3, 16, 15, 36, 37, 39, 40, 41	frlmvscafval 21682	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ))
43	3, 15, 16	frlmbasf 21676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
44	36, 39, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
45		drngring 20652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
46		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
47	15, 46	ringidcl 20181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
50	49	snssd 4776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → {(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾))
51	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
52		elfz1eq 13503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 𝑑 = 0)
53	51, 52	fveq12d 6868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
55		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
56		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 𝐾 ∈ DivRing)
57		ovexd 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (0...0) ∈ V)
58	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 0 ∈ (0...0))
59	55, 56, 57, 58, 46	uvcvv1 21705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
60		fvex 6874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ V
61	60	elsn 4607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)} ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
62	59, 61	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)})
63	54, 62	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
64	63	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
65		fcdmssb 7097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)}) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
66	50, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
67	44, 66	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)})
68		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ V)
70		elsni 4609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → 𝑐 = (1r‘𝐾))
71	70	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
72	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
73	15, 41, 46, 72, 37	ringridmd 20189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = 𝑛)
74	71, 73	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)}) → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = 𝑛)
75	36, 67, 69, 69, 74	caofid2 7692	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
76	42, 75	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
77	76	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = (𝑛 · 1 ) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛})))
78	77	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) → 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
79	78	impr 454	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑋 = (𝑛 · 1 ))
80	32, 35, 79	rspcedvdw 3594	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
81	30, 80	rexlimddv 3141	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
82		0prjspnrel.e	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
83	82	prjsprel 42599	. 2 ⊢ (𝑋 ∼ 1 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 )))
84	1, 6, 81, 83	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  {csn 4592   class class class wbr 5110  {copab 5172   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8802  0cc0 11075  ...cfz 13475  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  DivRingcdr 20645   freeLMod cfrlm 21662   unitVec cuvc 21698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-nzr 20429  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-uvc 21699

This theorem is referenced by:  0prjspn  42623