Theorem 0prjspnrel 43665

Description: In a zero-dimensional projective space, all vectors are equivalent to the unit vector. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnrel.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
0prjspnrel.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnrel.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
0prjspnrel.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
0prjspnrel.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnrel.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnrel	⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑥, 1 ,𝑦,𝑙   𝑥,𝑆,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem 0prjspnrel

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		0prjspnrel.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3		0prjspnrel.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspnrel.1	. . . 4 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
5	2, 3, 4	0prjspnlem 43664	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
7		sneq 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → {𝑛} = {(𝑋‘0)})
8	7	xpeq2d 5681	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → ((0...0) × {𝑛}) = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
9	8	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)})))
10		ovexd 7456	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0...0) ∈ V)
11		difss 4083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
12	2, 11	eqsstri 3975	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
13	12	sseli 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17	3, 15, 16	frlmbasf 22067	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
18	10, 14, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
19		c0ex 11301	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
20	19	snid 4623	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
21		fz0sn 13762	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
22	20, 21	eleqtrri 2860	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...0)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0...0))
24	18, 23	ffvelcdmd 7086	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
25	3, 15, 16	frlmbasmap 22066	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
26	10, 14, 25	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
27		fvex 6899	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
28	21, 27, 19	mapsnconst 8921	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
29	26, 28	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
30	9, 24, 29	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ (Base‘𝐾)𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))
31		oveq1 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 1 ) = (𝑛 · 1 ))
32	31	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑋 = (𝑚 · 1 ) ↔ 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
33		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
34		0prjspnrel.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
35	33, 34	eleqtrrdi 2872	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ 𝑆)
36		ovexd 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (0...0) ∈ V)
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
38	5	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ 𝐵)
39	12, 38	sselid 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑊))
40		0prjspnrel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
42	3, 16, 15, 36, 37, 39, 40, 41	frlmvscafval 22073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ))
43	3, 15, 16	frlmbasf 22067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
44	36, 39, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
45		drngring 20988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
46		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
47	15, 46	ringidcl 20495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
48	45, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
50	49	snssd 4747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → {(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾))
51	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
52		elfz1eq 13669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 𝑑 = 0)
53	51, 52	fveq12d 6893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
55		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
56		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 𝐾 ∈ DivRing)
57		ovexd 7456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (0...0) ∈ V)
58	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 0 ∈ (0...0))
59	55, 56, 57, 58, 46	uvcvv1 22096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
60		fvex 6899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ V
61	60	elsn 4599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)} ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
62	59, 61	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)})
63	54, 62	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
64	63	ralrimiva 3155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
65		fcdmssb 7123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)}) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
66	50, 64, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
67	44, 66	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)})
68		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ V)
70		elsni 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → 𝑐 = (1r‘𝐾))
71	70	oveq2d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
72	45	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
73	15, 41, 46, 72, 37	ringridmd 20503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = 𝑛)
74	71, 73	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)}) → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = 𝑛)
75	36, 67, 69, 69, 74	caofid2 7730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
76	42, 75	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
77	76	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = (𝑛 · 1 ) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛})))
78	77	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) → 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
79	78	impr 460	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑋 = (𝑛 · 1 ))
80	32, 35, 79	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
81	30, 80	rexlimddv 3170	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
82		0prjspnrel.e	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
83	82	prjsprel 43634	. 2 ⊢ (𝑋 ∼ 1 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 )))
84	1, 6, 81, 83	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3914  {csn 4584   class class class wbr 5103  {copab 5167   × cxp 5649  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692   ↑_m cmap 8848  0cc0 11201  ...cfz 13640  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430   ·_𝑠 cvsca 17433  0_gc0g 17611  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  DivRingcdr 20981   freeLMod cfrlm 22053   unitVec cuvc 22089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-prds 17619  df-pws 17621  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-nzr 20764  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-uvc 22090

This theorem is used by:  0prjspn  43666