Theorem 0prjspnrel 43157

Description: In the zero-dimensional projective space, all vectors are equivalent to the unit vector. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnrel.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
0prjspnrel.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnrel.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
0prjspnrel.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
0prjspnrel.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnrel.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnrel	⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑥, 1 ,𝑦,𝑙   𝑥,𝑆,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem 0prjspnrel

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		0prjspnrel.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3		0prjspnrel.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspnrel.1	. . . 4 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
5	2, 3, 4	0prjspnlem 43153	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
7		sneq 4586	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → {𝑛} = {(𝑋‘0)})
8	7	xpeq2d 5670	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → ((0...0) × {𝑛}) = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
9	8	eqeq2d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)})))
10		ovexd 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0...0) ∈ V)
11		difss 4084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
12	2, 11	eqsstri 3977	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
13	12	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	13	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16		eqid 2756	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17	3, 15, 16	frlmbasf 21785	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
18	10, 14, 17	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
19		c0ex 11163	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
20	19	snid 4615	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
21		fz0sn 13622	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
22	20, 21	eleqtrri 2855	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...0)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0...0))
24	18, 23	ffvelcdmd 7055	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
25	3, 15, 16	frlmbasmap 21784	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
26	10, 14, 25	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
27		fvex 6869	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
28	21, 27, 19	mapsnconst 8863	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
29	26, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
30	9, 24, 29	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ (Base‘𝐾)𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))
31		oveq1 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 1 ) = (𝑛 · 1 ))
32	31	eqeq2d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑋 = (𝑚 · 1 ) ↔ 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
33		simprl 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
34		0prjspnrel.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
35	33, 34	eleqtrrdi 2867	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ 𝑆)
36		ovexd 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (0...0) ∈ V)
37		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
38	5	ad2antrr 734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ 𝐵)
39	12, 38	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑊))
40		0prjspnrel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
42	3, 16, 15, 36, 37, 39, 40, 41	frlmvscafval 21791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ))
43	3, 15, 16	frlmbasf 21785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
44	36, 39, 43	syl2anc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
45		drngring 20758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
46		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
47	15, 46	ringidcl 20287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
49	48	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
50	49	snssd 4739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → {(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾))
51	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
52		elfz1eq 13530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 𝑑 = 0)
53	51, 52	fveq12d 6863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
54	53	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
55		eqid 2756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
56		simplll 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 𝐾 ∈ DivRing)
57		ovexd 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (0...0) ∈ V)
58	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 0 ∈ (0...0))
59	55, 56, 57, 58, 46	uvcvv1 21814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
60		fvex 6869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ V
61	60	elsn 4591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)} ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
62	59, 61	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)})
63	54, 62	eqeltrd 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
64	63	ralrimiva 3148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
65		fcdmssb 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)}) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
66	50, 64, 65	syl2anc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
67	44, 66	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)})
68		vex 3452	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ V)
70		elsni 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → 𝑐 = (1r‘𝐾))
71	70	oveq2d 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
72	45	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
73	15, 41, 46, 72, 37	ringridmd 20295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = 𝑛)
74	71, 73	sylan9eqr 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)}) → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = 𝑛)
75	36, 67, 69, 69, 74	caofid2 7685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
76	42, 75	eqtrd 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
77	76	eqeq2d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = (𝑛 · 1 ) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛})))
78	77	biimprd 250	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) → 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
79	78	impr 457	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑋 = (𝑛 · 1 ))
80	32, 35, 79	rspcedvdw 3579	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
81	30, 80	rexlimddv 3163	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
82		0prjspnrel.e	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
83	82	prjsprel 43134	. 2 ⊢ (𝑋 ∼ 1 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 )))
84	1, 6, 81, 83	syl21anbrc 1354	1 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  ∃wrex 3080  Vcvv 3448   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4576   class class class wbr 5094  {copab 5156   × cxp 5638  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   ∘_f cof 7647   ↑_m cmap 8796  0cc0 11063  ...cfz 13502  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263   ·_𝑠 cvsca 17266  0_gc0g 17444  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  DivRingcdr 20751   freeLMod cfrlm 21771   unitVec cuvc 21807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-nzr 20535  df-subrg 20592  df-drng 20753  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-dsmm 21757  df-frlm 21772  df-uvc 21808

This theorem is referenced by:  0prjspn  43158