Theorem 0prjspnrel 42637

Description: In the zero-dimensional projective space, all vectors are equivalent to the unit vector. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
0prjspnrel.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
0prjspnrel.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
0prjspnrel.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
0prjspnrel.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
0prjspnrel.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
0prjspnrel.1	⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)

Assertion

Ref	Expression
0prjspnrel	⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑙   𝑥,𝐾,𝑦,𝑙   𝑥, · ,𝑦,𝑙   𝑥, 1 ,𝑦,𝑙   𝑥,𝑆,𝑦,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem 0prjspnrel

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		0prjspnrel.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
3		0prjspnrel.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...0))
4		0prjspnrel.1	. . . 4 ⊢ 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0)
5	2, 3, 4	0prjspnlem 42633	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 1 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
7		sneq 4636	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → {𝑛} = {(𝑋‘0)})
8	7	xpeq2d 5715	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → ((0...0) × {𝑛}) = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
9	8	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑋‘0) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)})))
10		ovexd 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (0...0) ∈ V)
11		difss 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}) ⊆ (Base‘𝑊)
12	2, 11	eqsstri 4030	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊)
13	12	sseli 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
17	3, 15, 16	frlmbasf 21780	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
18	10, 14, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:(0...0)⟶(Base‘𝐾))
19		c0ex 11255	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
20	19	snid 4662	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0}
21		fz0sn 13667	. . . . . . 7 ⊢ (0...0) = {0}
22	20, 21	eleqtrri 2840	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...0)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (0...0))
24	18, 23	ffvelcdmd 7105	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
25	3, 15, 16	frlmbasmap 21779	. . . . . 6 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
26	10, 14, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)))
27		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
28	21, 27, 19	mapsnconst 8932	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ((Base‘𝐾) ↑m (0...0)) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
29	26, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = ((0...0) × {(𝑋‘0)}))
30	9, 24, 29	rspcedvdw 3625	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑛 ∈ (Base‘𝐾)𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))
31		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 1 ) = (𝑛 · 1 ))
32	31	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑋 = (𝑚 · 1 ) ↔ 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
33		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
34		0prjspnrel.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
35	33, 34	eleqtrrdi 2852	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑛 ∈ 𝑆)
36		ovexd 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (0...0) ∈ V)
37		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ (Base‘𝐾))
38	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ 𝐵)
39	12, 38	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑊))
40		0prjspnrel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
41		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
42	3, 16, 15, 36, 37, 39, 40, 41	frlmvscafval 21786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ))
43	3, 15, 16	frlmbasf 21780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0...0) ∈ V ∧ 1 ∈ (Base‘𝑊)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
44	36, 39, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾))
45		drngring 20736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Ring)
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
47	15, 46	ringidcl 20262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (1r‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
50	49	snssd 4809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → {(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾))
51	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 1 = ((𝐾 unitVec (0...0))‘0))
52		elfz1eq 13575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → 𝑑 = 0)
53	51, 52	fveq12d 6913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ (0...0) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) = (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0))
55		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 unitVec (0...0)) = (𝐾 unitVec (0...0))
56		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 𝐾 ∈ DivRing)
57		ovexd 7466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (0...0) ∈ V)
58	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → 0 ∈ (0...0))
59	55, 56, 57, 58, 46	uvcvv1 21809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
60		fvex 6919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ V
61	60	elsn 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)} ↔ (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) = (1r‘𝐾))
62	59, 61	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → (((𝐾 unitVec (0...0))‘0)‘0) ∈ {(1r‘𝐾)})
63	54, 62	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑑 ∈ (0...0)) → ( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
64	63	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)})
65		fcdmssb 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({(1r‘𝐾)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑑 ∈ (0...0)( 1 ‘𝑑) ∈ {(1r‘𝐾)}) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
66	50, 64, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 :(0...0)⟶(Base‘𝐾) ↔ 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)}))
67	44, 66	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 :(0...0)⟶{(1r‘𝐾)})
68		vex 3484	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑛 ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑛 ∈ V)
70		elsni 4643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → 𝑐 = (1r‘𝐾))
71	70	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)} → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)))
72	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Ring)
73	15, 41, 46, 72, 37	ringridmd 20270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛(.r‘𝐾)(1r‘𝐾)) = 𝑛)
74	71, 73	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑐 ∈ {(1r‘𝐾)}) → (𝑛(.r‘𝐾)𝑐) = 𝑛)
75	36, 67, 69, 69, 74	caofid2 7733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0...0) × {𝑛}) ∘f (.r‘𝐾) 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
76	42, 75	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑛 · 1 ) = ((0...0) × {𝑛}))
77	76	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = (𝑛 · 1 ) ↔ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛})))
78	77	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 = ((0...0) × {𝑛}) → 𝑋 = (𝑛 · 1 )))
79	78	impr 454	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → 𝑋 = (𝑛 · 1 ))
80	32, 35, 79	rspcedvdw 3625	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 = ((0...0) × {𝑛}))) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
81	30, 80	rexlimddv 3161	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 ))
82		0prjspnrel.e	. . 3 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
83	82	prjsprel 42614	. 2 ⊢ (𝑋 ∼ 1 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑚 ∈ 𝑆 𝑋 = (𝑚 · 1 )))
84	1, 6, 81, 83	syl21anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∼ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  {copab 5205   × cxp 5683  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8866  0cc0 11155  ...cfz 13547  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  DivRingcdr 20729   freeLMod cfrlm 21766   unitVec cuvc 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803

This theorem is referenced by:  0prjspn  42638