Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0prjspnrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0prjspnrel 41012
Description: In the zero-dimensional projective space, all vectors are equivalent to the unit vector. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
0prjspnrel.e โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ = (๐‘™ ยท ๐‘ฆ))}
0prjspnrel.b ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
0prjspnrel.x ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
0prjspnrel.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐พ)
0prjspnrel.w ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...0))
0prjspnrel.1 1 = ((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)
Assertion
Ref Expression
0prjspnrel ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆผ 1 )
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ,๐‘™
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘™)   โˆผ (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘™)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘™)

Proof of Theorem 0prjspnrel
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . 2 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 0prjspnrel.b . . . 4 ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
3 0prjspnrel.w . . . 4 ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...0))
4 0prjspnrel.1 . . . 4 1 = ((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)
52, 3, 40prjspnlem 41008 . . 3 (๐พ โˆˆ DivRing โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
65adantr 482 . 2 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
7 ovexd 7396 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0...0) โˆˆ V)
8 difss 4095 . . . . . . . . 9 ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)}) โŠ† (Baseโ€˜๐‘Š)
92, 8eqsstri 3982 . . . . . . . 8 ๐ต โŠ† (Baseโ€˜๐‘Š)
109sseli 3944 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
1110adantl 483 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
143, 12, 13frlmbasf 21189 . . . . . 6 (((0...0) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘‹:(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
157, 11, 14syl2anc 585 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹:(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
16 c0ex 11157 . . . . . . . 8 0 โˆˆ V
1716snid 4626 . . . . . . 7 0 โˆˆ {0}
18 fz0sn 13550 . . . . . . 7 (0...0) = {0}
1917, 18eleqtrri 2833 . . . . . 6 0 โˆˆ (0...0)
2019a1i 11 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ (0...0))
2115, 20ffvelcdmd 7040 . . . 4 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹โ€˜0) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
22 sneq 4600 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘‹โ€˜0) โ†’ {๐‘›} = {(๐‘‹โ€˜0)})
2322xpeq2d 5667 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘‹โ€˜0) โ†’ ((0...0) ร— {๐‘›}) = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)}))
2423eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘‹โ€˜0) โ†’ (๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}) โ†” ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)})))
2524adantl 483 . . . 4 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› = (๐‘‹โ€˜0)) โ†’ (๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}) โ†” ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)})))
263, 12, 13frlmbasmap 21188 . . . . . 6 (((0...0) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐พ) โ†‘m (0...0)))
277, 11, 26syl2anc 585 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐พ) โ†‘m (0...0)))
28 fvex 6859 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ V
2918, 28, 16mapsnconst 8836 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐พ) โ†‘m (0...0)) โ†’ ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)}))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)}))
3121, 25, 30rspcedvd 3585 . . 3 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))
32 simprl 770 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
33 0prjspnrel.s . . . . 5 ๐‘† = (Baseโ€˜๐พ)
3432, 33eleqtrrdi 2845 . . . 4 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)
35 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š ยท 1 ) = (๐‘› ยท 1 ))
3635eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 )))
3736adantl 483 . . . 4 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โˆง ๐‘š = ๐‘›) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 )))
38 ovexd 7396 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (0...0) โˆˆ V)
39 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
405ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
419, 40sselid 3946 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
42 0prjspnrel.x . . . . . . . . 9 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
43 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐พ) = (.rโ€˜๐พ)
443, 13, 12, 38, 39, 41, 42, 43frlmvscafval 21195 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (((0...0) ร— {๐‘›}) โˆ˜f (.rโ€˜๐พ) 1 ))
453, 12, 13frlmbasf 21189 . . . . . . . . . . 11 (((0...0) โˆˆ V โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
4638, 41, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
47 drngring 20226 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ DivRing โ†’ ๐พ โˆˆ Ring)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rโ€˜๐พ) = (1rโ€˜๐พ)
4912, 48ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐พ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ DivRing โ†’ (1rโ€˜๐พ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (1rโ€˜๐พ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5251snssd 4773 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ {(1rโ€˜๐พ)} โŠ† (Baseโ€˜๐พ))
534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‘ โˆˆ (0...0) โ†’ 1 = ((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0))
54 elfz1eq 13461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‘ โˆˆ (0...0) โ†’ ๐‘‘ = 0)
5553, 54fveq12d 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‘ โˆˆ (0...0) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‘) = (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0))
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‘) = (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ unitVec (0...0)) = (๐พ unitVec (0...0))
58 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
59 ovexd 7396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ (0...0) โˆˆ V)
6019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ 0 โˆˆ (0...0))
6157, 58, 59, 60, 48uvcvv1 21218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) = (1rโ€˜๐พ))
62 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) โˆˆ V
6362elsn 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)} โ†” (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) = (1rโ€˜๐พ))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)})
6556, 64eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‘) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)})
6665ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘‘ โˆˆ (0...0)( 1 โ€˜๐‘‘) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)})
67 fcdmssb 7073 . . . . . . . . . . 11 (({(1rโ€˜๐พ)} โŠ† (Baseโ€˜๐พ) โˆง โˆ€๐‘‘ โˆˆ (0...0)( 1 โ€˜๐‘‘) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)}) โ†’ ( 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ) โ†” 1 :(0...0)โŸถ{(1rโ€˜๐พ)}))
6852, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ( 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ) โ†” 1 :(0...0)โŸถ{(1rโ€˜๐พ)}))
6946, 68mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 :(0...0)โŸถ{(1rโ€˜๐พ)})
70 vex 3451 . . . . . . . . . 10 ๐‘› โˆˆ V
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ V)
72 elsni 4607 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)} โ†’ ๐‘ = (1rโ€˜๐พ))
7372oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)} โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)๐‘) = (๐‘›(.rโ€˜๐พ)(1rโ€˜๐พ)))
7447ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ Ring)
7512, 43, 48ringridm 20001 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ Ring โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)(1rโ€˜๐พ)) = ๐‘›)
7674, 39, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)(1rโ€˜๐พ)) = ๐‘›)
7773, 76sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘ โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)}) โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)๐‘) = ๐‘›)
7838, 69, 71, 71, 77caofid2 7655 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (((0...0) ร— {๐‘›}) โˆ˜f (.rโ€˜๐พ) 1 ) = ((0...0) ร— {๐‘›}))
7944, 78eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = ((0...0) ร— {๐‘›}))
8079eqeq2d 2744 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 ) โ†” ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›})))
8180biimprd 248 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 )))
8281impr 456 . . . 4 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 ))
8334, 37, 82rspcedvd 3585 . . 3 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ))
8431, 83rexlimddv 3155 . 2 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ))
85 0prjspnrel.e . . 3 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ = (๐‘™ ยท ๐‘ฆ))}
8685prjsprel 40989 . 2 (๐‘‹ โˆผ 1 โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 )))
871, 6, 84, 86syl21anbrc 1345 1 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆผ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  {copab 5171   ร— cxp 5635  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ†‘m cmap 8771  0cc0 11059  ...cfz 13433  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  DivRingcdr 20219   freeLMod cfrlm 21175   unitVec cuvc 21211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-nzr 20196  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-uvc 21212
This theorem is referenced by:  0prjspn  41013
  Copyright terms: Public domain W3C validator