Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0prjspnrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0prjspnrel 42116
Description: In the zero-dimensional projective space, all vectors are equivalent to the unit vector. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
0prjspnrel.e โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ = (๐‘™ ยท ๐‘ฆ))}
0prjspnrel.b ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
0prjspnrel.x ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
0prjspnrel.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐พ)
0prjspnrel.w ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...0))
0prjspnrel.1 1 = ((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)
Assertion
Ref Expression
0prjspnrel ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆผ 1 )
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘‹,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ,๐‘™   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ,๐‘™
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘™)   โˆผ (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘™)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘™)

Proof of Theorem 0prjspnrel
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . 2 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
2 0prjspnrel.b . . . 4 ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
3 0prjspnrel.w . . . 4 ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...0))
4 0prjspnrel.1 . . . 4 1 = ((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)
52, 3, 40prjspnlem 42112 . . 3 (๐พ โˆˆ DivRing โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
65adantr 479 . 2 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
7 ovexd 7451 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0...0) โˆˆ V)
8 difss 4124 . . . . . . . . 9 ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)}) โІ (Baseโ€˜๐‘Š)
92, 8eqsstri 4007 . . . . . . . 8 ๐ต โІ (Baseโ€˜๐‘Š)
109sseli 3968 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
1110adantl 480 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
13 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
143, 12, 13frlmbasf 21698 . . . . . 6 (((0...0) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘‹:(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
157, 11, 14syl2anc 582 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹:(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
16 c0ex 11238 . . . . . . . 8 0 โˆˆ V
1716snid 4660 . . . . . . 7 0 โˆˆ {0}
18 fz0sn 13633 . . . . . . 7 (0...0) = {0}
1917, 18eleqtrri 2824 . . . . . 6 0 โˆˆ (0...0)
2019a1i 11 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ (0...0))
2115, 20ffvelcdmd 7090 . . . 4 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹โ€˜0) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
22 sneq 4634 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘‹โ€˜0) โ†’ {๐‘›} = {(๐‘‹โ€˜0)})
2322xpeq2d 5702 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘‹โ€˜0) โ†’ ((0...0) ร— {๐‘›}) = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)}))
2423eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘‹โ€˜0) โ†’ (๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}) โ†” ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)})))
2524adantl 480 . . . 4 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› = (๐‘‹โ€˜0)) โ†’ (๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}) โ†” ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)})))
263, 12, 13frlmbasmap 21697 . . . . . 6 (((0...0) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐พ) โ†‘m (0...0)))
277, 11, 26syl2anc 582 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐พ) โ†‘m (0...0)))
28 fvex 6905 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ V
2918, 28, 16mapsnconst 8909 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐พ) โ†‘m (0...0)) โ†’ ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)}))
3027, 29syl 17 . . . 4 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ = ((0...0) ร— {(๐‘‹โ€˜0)}))
3121, 25, 30rspcedvd 3603 . . 3 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))
32 simprl 769 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
33 0prjspnrel.s . . . . 5 ๐‘† = (Baseโ€˜๐พ)
3432, 33eleqtrrdi 2836 . . . 4 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘†)
35 oveq1 7423 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š ยท 1 ) = (๐‘› ยท 1 ))
3635eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 )))
3736adantl 480 . . . 4 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โˆง ๐‘š = ๐‘›) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ) โ†” ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 )))
38 ovexd 7451 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (0...0) โˆˆ V)
39 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
405ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
419, 40sselid 3970 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
42 0prjspnrel.x . . . . . . . . 9 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
43 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐พ) = (.rโ€˜๐พ)
443, 13, 12, 38, 39, 41, 42, 43frlmvscafval 21704 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = (((0...0) ร— {๐‘›}) โˆ˜f (.rโ€˜๐พ) 1 ))
453, 12, 13frlmbasf 21698 . . . . . . . . . . 11 (((0...0) โˆˆ V โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
4638, 41, 45syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
47 drngring 20635 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ DivRing โ†’ ๐พ โˆˆ Ring)
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rโ€˜๐พ) = (1rโ€˜๐พ)
4912, 48ringidcl 20206 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐พ โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐พ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐พ โˆˆ DivRing โ†’ (1rโ€˜๐พ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (1rโ€˜๐พ) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
5251snssd 4808 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ {(1rโ€˜๐พ)} โІ (Baseโ€˜๐พ))
534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‘ โˆˆ (0...0) โ†’ 1 = ((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0))
54 elfz1eq 13544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‘ โˆˆ (0...0) โ†’ ๐‘‘ = 0)
5553, 54fveq12d 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‘ โˆˆ (0...0) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‘) = (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0))
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‘) = (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0))
57 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ unitVec (0...0)) = (๐พ unitVec (0...0))
58 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
59 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ (0...0) โˆˆ V)
6019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ 0 โˆˆ (0...0))
6157, 58, 59, 60, 48uvcvv1 21727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) = (1rโ€˜๐พ))
62 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) โˆˆ V
6362elsn 4639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)} โ†” (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) = (1rโ€˜๐พ))
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ (((๐พ unitVec (0...0))โ€˜0)โ€˜0) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)})
6556, 64eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (0...0)) โ†’ ( 1 โ€˜๐‘‘) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)})
6665ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘‘ โˆˆ (0...0)( 1 โ€˜๐‘‘) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)})
67 fcdmssb 7127 . . . . . . . . . . 11 (({(1rโ€˜๐พ)} โІ (Baseโ€˜๐พ) โˆง โˆ€๐‘‘ โˆˆ (0...0)( 1 โ€˜๐‘‘) โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)}) โ†’ ( 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ) โ†” 1 :(0...0)โŸถ{(1rโ€˜๐พ)}))
6852, 66, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ( 1 :(0...0)โŸถ(Baseโ€˜๐พ) โ†” 1 :(0...0)โŸถ{(1rโ€˜๐พ)}))
6946, 68mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ 1 :(0...0)โŸถ{(1rโ€˜๐พ)})
70 vex 3467 . . . . . . . . . 10 ๐‘› โˆˆ V
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ V)
72 elsni 4641 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)} โ†’ ๐‘ = (1rโ€˜๐พ))
7372oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)} โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)๐‘) = (๐‘›(.rโ€˜๐พ)(1rโ€˜๐พ)))
7447ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ Ring)
7512, 43, 48ringridm 20210 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ Ring โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)(1rโ€˜๐พ)) = ๐‘›)
7674, 39, 75syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)(1rโ€˜๐พ)) = ๐‘›)
7773, 76sylan9eqr 2787 . . . . . . . . 9 ((((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘ โˆˆ {(1rโ€˜๐พ)}) โ†’ (๐‘›(.rโ€˜๐พ)๐‘) = ๐‘›)
7838, 69, 71, 71, 77caofid2 7717 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (((0...0) ร— {๐‘›}) โˆ˜f (.rโ€˜๐พ) 1 ) = ((0...0) ร— {๐‘›}))
7944, 78eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘› ยท 1 ) = ((0...0) ร— {๐‘›}))
8079eqeq2d 2736 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 ) โ†” ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›})))
8180biimprd 247 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 )))
8281impr 453 . . . 4 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ ๐‘‹ = (๐‘› ยท 1 ))
8334, 37, 82rspcedvd 3603 . . 3 (((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง ๐‘‹ = ((0...0) ร— {๐‘›}))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ))
8431, 83rexlimddv 3151 . 2 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 ))
85 0prjspnrel.e . . 3 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘™ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ = (๐‘™ ยท ๐‘ฆ))}
8685prjsprel 42093 . 2 (๐‘‹ โˆผ 1 โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ ๐‘† ๐‘‹ = (๐‘š ยท 1 )))
871, 6, 84, 86syl21anbrc 1341 1 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆผ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3936   โІ wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  {copab 5205   ร— cxp 5670  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆ˜f cof 7680   โ†‘m cmap 8843  0cc0 11138  ...cfz 13516  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ยท๐‘  cvsca 17236  0gc0g 17420  1rcur 20125  Ringcrg 20177  DivRingcdr 20628   freeLMod cfrlm 21684   unitVec cuvc 21720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-nzr 20456  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-uvc 21721
This theorem is referenced by:  0prjspn  42117
  Copyright terms: Public domain W3C validator