Theorem fin23lem24 10413

Description: Lemma for fin23 10480. In a class of ordinals, each element is fully identified by those of its predecessors which also belong to the class. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem24	⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem fin23lem24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → Ord 𝐴)
2		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
3		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
4	2, 3	sseldd 3914	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ 𝐴)
5		ordelord 6391	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → Ord 𝐶)
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → Ord 𝐶)
7		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
8	2, 7	sseldd 3914	. . . . . 6 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ 𝐴)
9		ordelord 6391	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → Ord 𝐷)
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → Ord 𝐷)
11		ordtri3 6406	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → (𝐶 = 𝐷 ↔ ¬ (𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶)))
12	11	necon2abid 3001	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐶 ∧ Ord 𝐷) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) ↔ 𝐶 ≠ 𝐷))
13	6, 10, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) ↔ 𝐶 ≠ 𝐷))
14		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐷)
15		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ 𝐵)
16	14, 15	elind 4100	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐷 ∩ 𝐵))
17	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → Ord 𝐶)
18		ordirr 6387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐶 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐶)
20		elinel1 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐶 ∩ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐶)
21	19, 20	nsyl 141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐶 ∩ 𝐵))
22		nelne1 3056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝐷 ∩ 𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐶 ∩ 𝐵)) → (𝐷 ∩ 𝐵) ≠ (𝐶 ∩ 𝐵))
23	16, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐷 ∩ 𝐵) ≠ (𝐶 ∩ 𝐵))
24	23	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (𝐶 ∩ 𝐵) ≠ (𝐷 ∩ 𝐵))
25		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝐶)
26		simplrr 790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝐵)
27	25, 26	elind 4100	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ (𝐶 ∩ 𝐵))
28	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → Ord 𝐷)
29		ordirr 6387	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝐷 → ¬ 𝐷 ∈ 𝐷)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐷 ∈ 𝐷)
31		elinel1 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝐷 ∈ 𝐷)
32	30, 31	nsyl 141	. . . . . . 7 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐷 ∈ (𝐷 ∩ 𝐵))
33		nelne1 3056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (𝐶 ∩ 𝐵) ∧ ¬ 𝐷 ∈ (𝐷 ∩ 𝐵)) → (𝐶 ∩ 𝐵) ≠ (𝐷 ∩ 𝐵))
34	27, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∩ 𝐵) ≠ (𝐷 ∩ 𝐵))
35	24, 34	jaodan 972	. . . . 5 ⊢ ((((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∩ 𝐵) ≠ (𝐷 ∩ 𝐵))
36	35	ex 418	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∈ 𝐷 ∨ 𝐷 ∈ 𝐶) → (𝐶 ∩ 𝐵) ≠ (𝐷 ∩ 𝐵)))
37	13, 36	sylbird 263	. . 3 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ≠ 𝐷 → (𝐶 ∩ 𝐵) ≠ (𝐷 ∩ 𝐵)))
38	37	necon4d 2983	. 2 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐷 ∩ 𝐵) → 𝐶 = 𝐷))
39		ineq1 4113	. 2 ⊢ (𝐶 = 𝐷 → (𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐷 ∩ 𝐵))
40	38, 39	impbid1 228	1 ⊢ (((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → ((𝐶 ∩ 𝐵) = (𝐷 ∩ 𝐵) ↔ 𝐶 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  Ord word 6368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6372

This theorem is used by:  fin23lem23  10417