Theorem fin23lem23 10331

Description: Lemma for fin23lem22 10332. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fin23lem23	⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖)

Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆

Proof of Theorem fin23lem23

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin23lem26 10330	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖)
2		ensym 9012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 → 𝑖 ≈ (𝑎 ∩ 𝑆))
3		entr 9015	. . . . . 6 ⊢ (((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ 𝑖 ≈ (𝑎 ∩ 𝑆)) → (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ (𝑎 ∩ 𝑆))
4	2, 3	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖) → (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ (𝑎 ∩ 𝑆))
5		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
6		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → 𝑗 ∈ 𝑆)
7	5, 6	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → 𝑗 ∈ ω)
8		nnfi 9165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ω → 𝑗 ∈ Fin)
9		inss1 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∩ 𝑆) ⊆ 𝑗
10		ssfi 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ Fin ∧ (𝑗 ∩ 𝑆) ⊆ 𝑗) → (𝑗 ∩ 𝑆) ∈ Fin)
11	8, 9, 10	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑗 ∩ 𝑆) ∈ Fin)
12	7, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → (𝑗 ∩ 𝑆) ∈ Fin)
13		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ 𝑆)
14	5, 13	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → 𝑎 ∈ ω)
15		nnfi 9165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ Fin)
16		inss1 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑆) ⊆ 𝑎
17		ssfi 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ⊆ 𝑎) → (𝑎 ∩ 𝑆) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ω → (𝑎 ∩ 𝑆) ∈ Fin)
19	14, 18	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → (𝑎 ∩ 𝑆) ∈ Fin)
20		nnord 7871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ω → Ord 𝑗)
21		nnord 7871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ω → Ord 𝑎)
22		ordtri2or2 6459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Ord 𝑗 ∧ Ord 𝑎) → (𝑗 ⊆ 𝑎 ∨ 𝑎 ⊆ 𝑗))
23	20, 21, 22	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑗 ⊆ 𝑎 ∨ 𝑎 ⊆ 𝑗))
24	7, 14, 23	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → (𝑗 ⊆ 𝑎 ∨ 𝑎 ⊆ 𝑗))
25		ssrin 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ⊆ 𝑎 → (𝑗 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑆))
26		ssrin 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝑗 → (𝑎 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑗 ∩ 𝑆))
27	25, 26	orim12i 922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ⊆ 𝑎 ∨ 𝑎 ⊆ 𝑗) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑆) ∨ (𝑎 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑗 ∩ 𝑆)))
28	24, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑆) ∨ (𝑎 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑗 ∩ 𝑆)))
29		fin23lem25 10329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑗 ∩ 𝑆) ∈ Fin ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑆) ∨ (𝑎 ∩ 𝑆) ⊆ (𝑗 ∩ 𝑆))) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ (𝑎 ∩ 𝑆) ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) = (𝑎 ∩ 𝑆)))
30	12, 19, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ (𝑎 ∩ 𝑆) ↔ (𝑗 ∩ 𝑆) = (𝑎 ∩ 𝑆)))
31		ordom 7873	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
32		fin23lem24 10327	. . . . . . 7 ⊢ (((Ord ω ∧ 𝑆 ⊆ ω) ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) = (𝑎 ∩ 𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
33	31, 32	mpanl1 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) = (𝑎 ∩ 𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
34	30, 33	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ (𝑎 ∩ 𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
35	4, 34	imbitrid 247	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗 ∈ 𝑆 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆)) → (((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
36	35	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ ω → ∀𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑎 ∈ 𝑆 (((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
37	36	ad2antrr 739	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑎 ∈ 𝑆 (((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
38		ineq1 4159	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 ∩ 𝑆) = (𝑎 ∩ 𝑆))
39	38	breq1d 5113	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → ((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖))
40	39	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑆 ∀𝑎 ∈ 𝑆 (((𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎)))
41	1, 37, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗 ∈ 𝑆 (𝑗 ∩ 𝑆) ≈ 𝑖)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  Ord word 6356  ωcom 7863   ≈ cen 8952  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959

This theorem is used by:  fin23lem22  10332  fin23lem27  10333