MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin23lem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin23lem23 9737
Description: Lemma for fin23lem22 9738. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin23lem23 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Distinct variable group:   𝑖,𝑗,𝑆

Proof of Theorem fin23lem23
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fin23lem26 9736 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
2 ensym 8545 . . . . . 6 ((𝑎𝑆) ≈ 𝑖𝑖 ≈ (𝑎𝑆))
3 entr 8548 . . . . . 6 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖𝑖 ≈ (𝑎𝑆)) → (𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆))
42, 3sylan2 595 . . . . 5 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → (𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆))
5 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑆 ⊆ ω)
6 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑗𝑆)
75, 6sseldd 3943 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑗 ∈ ω)
8 nnfi 8700 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ω → 𝑗 ∈ Fin)
9 inss1 4179 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗
10 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ Fin ∧ (𝑗𝑆) ⊆ 𝑗) → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
118, 9, 10sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
127, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑗𝑆) ∈ Fin)
13 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑎𝑆)
145, 13sseldd 3943 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → 𝑎 ∈ ω)
15 nnfi 8700 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ω → 𝑎 ∈ Fin)
16 inss1 4179 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎
17 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝑎𝑆) ⊆ 𝑎) → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
1815, 16, 17sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ω → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
1914, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑎𝑆) ∈ Fin)
20 nnord 7573 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ω → Ord 𝑗)
21 nnord 7573 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ω → Ord 𝑎)
22 ordtri2or2 6265 . . . . . . . . . 10 ((Ord 𝑗 ∧ Ord 𝑎) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
2320, 21, 22syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ ω) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
247, 14, 23syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (𝑗𝑎𝑎𝑗))
25 ssrin 4184 . . . . . . . . 9 (𝑗𝑎 → (𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆))
26 ssrin 4184 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑗 → (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆))
2725, 26orim12i 906 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑎𝑎𝑗) → ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆)))
2824, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆)))
29 fin23lem25 9735 . . . . . . 7 (((𝑗𝑆) ∈ Fin ∧ (𝑎𝑆) ∈ Fin ∧ ((𝑗𝑆) ⊆ (𝑎𝑆) ∨ (𝑎𝑆) ⊆ (𝑗𝑆))) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆)))
3012, 19, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆)))
31 ordom 7574 . . . . . . 7 Ord ω
32 fin23lem24 9733 . . . . . . 7 (((Ord ω ∧ 𝑆 ⊆ ω) ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) = (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
3331, 32mpanl1 699 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) = (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
3430, 33bitrd 282 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → ((𝑗𝑆) ≈ (𝑎𝑆) ↔ 𝑗 = 𝑎))
354, 34syl5ib 247 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ω ∧ (𝑗𝑆𝑎𝑆)) → (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
3635ralrimivva 3181 . . 3 (𝑆 ⊆ ω → ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
3736ad2antrr 725 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎))
38 ineq1 4155 . . . 4 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗𝑆) = (𝑎𝑆))
3938breq1d 5052 . . 3 (𝑗 = 𝑎 → ((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖))
4039reu4 3697 . 2 (∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ↔ (∃𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ ∀𝑗𝑆𝑎𝑆 (((𝑗𝑆) ≈ 𝑖 ∧ (𝑎𝑆) ≈ 𝑖) → 𝑗 = 𝑎)))
411, 37, 40sylanbrc 586 1 (((𝑆 ⊆ ω ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∃!𝑗𝑆 (𝑗𝑆) ≈ 𝑖)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131  ∃!wreu 3132  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5042  Ord word 6168  ωcom 7565  cen 8493  Fincfn 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-br 5043  df-opab 5105  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-om 7566  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500
This theorem is referenced by:  fin23lem22  9738  fin23lem27  9739
  Copyright terms: Public domain W3C validator