Theorem fincssdom 10363

Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fincssdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem fincssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4		orel1 889	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	2, 3, 4	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		dfpss3 4089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵))
7	5, 2, 6	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
8		php3 9249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	9	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domnsym 9139	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
12	11	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
13	10, 12	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	13	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
15		ssdomg 9040	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
17	14, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   ⊊ wpss 3952   class class class wbr 5143   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10450