MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincssdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincssdom 10314
Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fincssdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem fincssdom
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4 orel1 887 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
52, 3, 4sylc 65 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
6 dfpss3 4085 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴𝐵))
75, 2, 6sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
8 php3 9208 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
91, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
109ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 domnsym 9095 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
1211con2i 139 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1310, 12syl6 35 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
1413con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 8992 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
16153ad2ant2 1134 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 211 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wcel 2106  wss 3947  wpss 3948   class class class wbr 5147  cdom 8933  csdm 8934  Fincfn 8935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7852  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10401
  Copyright terms: Public domain W3C validator