Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincssdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincssdom 9734
 Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fincssdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem fincssdom
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3 simpl3 1187 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4 orel1 884 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
52, 3, 4sylc 65 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
6 dfpss3 4067 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴𝐵))
75, 2, 6sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
8 php3 8692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
91, 7, 8syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
109ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 domnsym 8632 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
1211con2i 141 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1310, 12syl6 35 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
1413con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 8544 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
16153ad2ant2 1128 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 213 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3940   ⊊ wpss 3941   class class class wbr 5063   ≼ cdom 8496   ≺ csdm 8497  Fincfn 8498 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-om 7569  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502 This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9821
 Copyright terms: Public domain W3C validator