Theorem fincssdom 10276

Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fincssdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem fincssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4		orel1 888	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	2, 3, 4	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		dfpss3 4052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵))
7	5, 2, 6	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
8		php3 9173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	9	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domnsym 9067	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
12	11	con2i 139	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
13	10, 12	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	13	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
15		ssdomg 8971	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
17	14, 16	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915   class class class wbr 5107   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922

This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10363