MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincssdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincssdom 9433
Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fincssdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem fincssdom
StepHypRef Expression
1 simpl1 1243 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpr 478 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3 simpl3 1247 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4 orel1 913 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
52, 3, 4sylc 65 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
6 dfpss3 3890 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴𝐵))
75, 2, 6sylanbrc 579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
8 php3 8388 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
91, 7, 8syl2anc 580 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
109ex 402 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 domnsym 8328 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
1211con2i 137 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1310, 12syl6 35 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
1413con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 8241 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
16153ad2ant2 1165 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 204 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108  wcel 2157  wss 3769  wpss 3770   class class class wbr 4843  cdom 8193  csdm 8194  Fincfn 8195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7300  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  9520
  Copyright terms: Public domain W3C validator