MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fincssdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fincssdom 9962
Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fincssdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem fincssdom
StepHypRef Expression
1 simpl1 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3 simpl3 1195 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4 orel1 889 . . . . . . . 8 𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐵𝐴))
52, 3, 4sylc 65 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
6 dfpss3 4016 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐴𝐵))
75, 2, 6sylanbrc 586 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
8 php3 8855 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
91, 7, 8syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
109ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
11 domnsym 8795 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
1211con2i 141 . . . 4 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)
1310, 12syl6 35 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
1413con4d 115 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
15 ssdomg 8697 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
16153ad2ant2 1136 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1714, 16impbid 215 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐴)) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089  wcel 2111  wss 3881  wpss 3882   class class class wbr 5068  cdom 8645  csdm 8646  Fincfn 8647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3423  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-om 7664  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  10049
  Copyright terms: Public domain W3C validator