Theorem fincssdom 10328

Description: In a chain of finite sets, dominance and subset coincide. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fincssdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem fincssdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵)
3		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4		orel1 902	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐴))
5	2, 3, 4	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
6		dfpss3 4037	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵))
7	5, 2, 6	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
8		php3 9206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	9	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐵 ≺ 𝐴))
11		domnsym 9104	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
12	11	con2i 140	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵)
13	10, 12	syl6 36	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (¬ 𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≼ 𝐵))
14	13	con4d 116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
15		ssdomg 9009	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
16	15	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
17	14, 16	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900   class class class wbr 5103   ≼ cdom 8953   ≺ csdm 8954  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959

This theorem is used by:  fin1a2lem11  10415