Theorem fnebas 36740

Description: A finer cover covers the same set as the original. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnebas.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
fnebas.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
fnebas	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem fnebas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnebas.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
2		fnebas.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 36736	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4873   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  topGenctg 17486  Fnecfne 36732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-topgen 17492  df-fne 36733

This theorem is referenced by:  fnetr  36747  fnessref  36753  fnemeet2  36763  fnejoin2  36765