Theorem fnebas 34270

Description: A finer cover covers the same set as the original. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnebas.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
fnebas.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
fnebas	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem fnebas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnebas.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
2		fnebas.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 34266	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ⊆ wss 3866  ∪ cuni 4819   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  topGenctg 16942  Fnecfne 34262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-topgen 16948  df-fne 34263

This theorem is referenced by:  fnetr  34277  fnessref  34283  fnemeet2  34293  fnejoin2  34295