Theorem fnebas 36384

Description: A finer cover covers the same set as the original. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnebas.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
fnebas.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
fnebas	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem fnebas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnebas.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
2		fnebas.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 36380	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  topGenctg 17341  Fnecfne 36376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topgen 17347  df-fne 36377

This theorem is referenced by:  fnetr  36391  fnessref  36397  fnemeet2  36407  fnejoin2  36409