Theorem fnebas 37347

Description: A finer cover covers the same set as the original. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnebas.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
fnebas.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
fnebas	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem fnebas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnebas.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
2		fnebas.2	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 37343	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝑋 = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  topGenctg 17658  Fnecfne 37339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-topgen 17664  df-fne 37340

This theorem is used by:  fnetr  37354  fnessref  37360  fnemeet2  37370  fnejoin2  37372