Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet2 35338
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑑,π‘₯,𝑆   𝑑,𝑉,π‘₯   𝑑,𝑋,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑇,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 5085 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = βˆ… β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = 𝒫 𝑋)
21unieqd 4922 . . . . . . . . 9 (𝑆 = βˆ… β†’ βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ 𝒫 𝑋)
3 unipw 5450 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
42, 3eqtr2di 2789 . . . . . . . 8 (𝑆 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑆 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
6 n0 4346 . . . . . . . 8 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
7 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ π‘₯)
87eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ π‘₯))
98rspccva 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘₯)
1093adant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘₯)
11 fnemeet1 35337 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯)
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
13 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ π‘₯
1412, 13fnebas 35315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯ β†’ βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ π‘₯)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ π‘₯)
1610, 15eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
17163expia 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
1817exlimdv 1936 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
196, 18biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
205, 19pm2.61dne 3028 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
2120adantr 481 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
22 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2322, 12fnebas 35315 . . . . . 6 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
2423adantl 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))) β†’ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
2521, 24eqtr4d 2775 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇)
2625ex 413 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇))
27 fnetr 35322 . . . . . . 7 ((𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∧ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯) β†’ 𝑇Fneπ‘₯)
2827expcom 414 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯ β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑇Fneπ‘₯))
2911, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑇Fneπ‘₯))
30293expa 1118 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑇Fneπ‘₯))
3130ralrimdva 3154 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯))
3226, 31jcad 513 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)))
33 simprl 769 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇)
3420adantr 481 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
3533, 34eqtr3d 2774 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
36 eqimss2 4041 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝑇 β†’ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑋)
3736ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑋)
38 sspwuni 5103 . . . . . . 7 (𝑇 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑋)
3937, 38sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† 𝒫 𝑋)
40 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (𝑇Fneπ‘₯ ↔ 𝑇Fne𝑑))
4140cbvralvw 3234 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇Fne𝑑)
42 fnetg 35316 . . . . . . . . . 10 (𝑇Fne𝑑 β†’ 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4342ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇Fne𝑑 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4441, 43sylbi 216 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4544ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
46 ssiin 5058 . . . . . . 7 (𝑇 βŠ† ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4745, 46sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
4839, 47ssind 4232 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
49 pwexg 5376 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
50 inex1g 5319 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑋 ∈ V β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V)
5251ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V)
53 bastg 22476 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5548, 54sstrd 3992 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5622, 12isfne4 35311 . . . 4 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ↔ (βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))))
5735, 55, 56sylanbrc 583 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
5857ex 413 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ ((𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯) β†’ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5932, 58impbid 211 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  topGenctg 17385  Fnecfne 35307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17391  df-fne 35308
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator