Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet2 32737
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑡,𝑥,𝑆   𝑡,𝑉,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝑇,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 4750 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ∅ → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝒫 𝑋)
21unieqd 4604 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ∅ → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝒫 𝑋)
3 unipw 5074 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = 𝑋
42, 3syl6req 2816 . . . . . . . 8 (𝑆 = ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑆 = ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
6 n0 4095 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
7 unieq 4602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥)
87eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑥))
98rspccva 3460 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = 𝑥)
1093adant1 1160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = 𝑥)
11 fnemeet1 32736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥)
12 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
13 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝑥
1412, 13fnebas 32714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥 (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑥)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑥)
1610, 15eqtr4d 2802 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
17163expia 1150 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑥𝑆𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
1817exlimdv 2028 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (∃𝑥 𝑥𝑆𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
196, 18syl5bi 233 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
205, 19pm2.61dne 3023 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2120adantr 472 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
22 eqid 2765 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
2322, 12fnebas 32714 . . . . . 6 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2423adantl 473 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2521, 24eqtr4d 2802 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑋 = 𝑇)
2625ex 401 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑋 = 𝑇))
27 fnetr 32721 . . . . . . 7 ((𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∧ (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥) → 𝑇Fne𝑥)
2827expcom 402 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥 → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
2911, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
30293expa 1147 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
3130ralrimdva 3116 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥))
3226, 31jcad 508 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
33 simprl 787 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑋 = 𝑇)
3420adantr 472 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
3533, 34eqtr3d 2801 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
36 eqimss2 3818 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑇 𝑇𝑋)
3736ad2antrl 719 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇𝑋)
38 sspwuni 4768 . . . . . . 7 (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑇𝑋)
3937, 38sylibr 225 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑋)
40 breq2 4813 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (𝑇Fne𝑥𝑇Fne𝑡))
4140cbvralv 3319 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑇Fne𝑡)
42 fnetg 32715 . . . . . . . . . 10 (𝑇Fne𝑡𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4342ralimi 3099 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝑆 𝑇Fne𝑡 → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4441, 43sylbi 208 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥 → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4544ad2antll 720 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
46 ssiin 4726 . . . . . . 7 (𝑇 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4745, 46sylibr 225 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4839, 47ssind 3996 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
49 pwexg 5014 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
50 inex1g 4962 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
5251ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
53 bastg 21050 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5548, 54sstrd 3771 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5622, 12isfne4 32710 . . . 4 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ ( 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∧ 𝑇 ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))))
5735, 55, 56sylanbrc 578 . . 3 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
5857ex 401 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → ((𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥) → 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5932, 58impbid 203 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315   cuni 4594   ciin 4677   class class class wbr 4809  cfv 6068  topGenctg 16366  Fnecfne 32706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fv 6076  df-topgen 16372  df-fne 32707
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator