Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet2 32699
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑡,𝑥,𝑆   𝑡,𝑉,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝑇,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 4728 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ∅ → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝒫 𝑋)
21unieqd 4584 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ∅ → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝒫 𝑋)
3 unipw 5046 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = 𝑋
42, 3syl6req 2822 . . . . . . . 8 (𝑆 = ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑆 = ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
6 n0 4078 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
7 unieq 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥)
87eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑥))
98rspccva 3459 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = 𝑥)
1093adant1 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = 𝑥)
11 fnemeet1 32698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥)
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
13 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝑥
1412, 13fnebas 32676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥 (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑥)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑥)
1610, 15eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
17163expia 1114 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑥𝑆𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
1817exlimdv 2013 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (∃𝑥 𝑥𝑆𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
196, 18syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
205, 19pm2.61dne 3029 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2120adantr 466 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
22 eqid 2771 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
2322, 12fnebas 32676 . . . . . 6 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2423adantl 467 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2521, 24eqtr4d 2808 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑋 = 𝑇)
2625ex 397 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑋 = 𝑇))
27 fnetr 32683 . . . . . . 7 ((𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∧ (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥) → 𝑇Fne𝑥)
2827expcom 398 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥 → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
2911, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
30293expa 1111 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
3130ralrimdva 3118 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥))
3226, 31jcad 496 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
33 simprl 746 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑋 = 𝑇)
3420adantr 466 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
3533, 34eqtr3d 2807 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
36 eqimss2 3807 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑇 𝑇𝑋)
3736ad2antrl 699 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇𝑋)
38 sspwuni 4745 . . . . . . 7 (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑇𝑋)
3937, 38sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑋)
40 breq2 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (𝑇Fne𝑥𝑇Fne𝑡))
4140cbvralv 3320 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑇Fne𝑡)
42 fnetg 32677 . . . . . . . . . 10 (𝑇Fne𝑡𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4342ralimi 3101 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝑆 𝑇Fne𝑡 → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4441, 43sylbi 207 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥 → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4544ad2antll 700 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
46 ssiin 4704 . . . . . . 7 (𝑇 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4745, 46sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4839, 47ssind 3985 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
49 pwexg 4981 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
50 inex1g 4935 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
5251ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
53 bastg 20991 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5548, 54sstrd 3762 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5622, 12isfne4 32672 . . . 4 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ ( 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∧ 𝑇 ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))))
5735, 55, 56sylanbrc 564 . . 3 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
5857ex 397 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → ((𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥) → 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5932, 58impbid 202 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   cuni 4574   ciin 4655   class class class wbr 4786  cfv 6031  topGenctg 16306  Fnecfne 32668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-topgen 16312  df-fne 32669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator