Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet2 36350
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑡,𝑥,𝑆   𝑡,𝑉,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝑇,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 5087 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = ∅ → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝒫 𝑋)
21unieqd 4925 . . . . . . . . 9 (𝑆 = ∅ → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝒫 𝑋)
3 unipw 5461 . . . . . . . . 9 𝒫 𝑋 = 𝑋
42, 3eqtr2di 2792 . . . . . . . 8 (𝑆 = ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑆 = ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
6 n0 4359 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
7 unieq 4923 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥)
87eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 = 𝑦𝑋 = 𝑥))
98rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = 𝑥)
1093adant1 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = 𝑥)
11 fnemeet1 36349 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥)
12 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
13 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝑥
1412, 13fnebas 36327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥 (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑥)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) = 𝑥)
1610, 15eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
17163expia 1120 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑥𝑆𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
1817exlimdv 1931 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (∃𝑥 𝑥𝑆𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
196, 18biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
205, 19pm2.61dne 3026 . . . . . 6 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2120adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
22 eqid 2735 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
2322, 12fnebas 36327 . . . . . 6 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2423adantl 481 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
2521, 24eqtr4d 2778 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))) → 𝑋 = 𝑇)
2625ex 412 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑋 = 𝑇))
27 fnetr 36334 . . . . . . 7 ((𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∧ (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥) → 𝑇Fne𝑥)
2827expcom 413 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))Fne𝑥 → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
2911, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦𝑥𝑆) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
30293expa 1117 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → 𝑇Fne𝑥))
3130ralrimdva 3152 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥))
3226, 31jcad 512 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) → (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
33 simprl 771 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑋 = 𝑇)
3420adantr 480 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑋 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
3533, 34eqtr3d 2777 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
36 eqimss2 4055 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑇 𝑇𝑋)
3736ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇𝑋)
38 sspwuni 5105 . . . . . . 7 (𝑇 ⊆ 𝒫 𝑋 𝑇𝑋)
3937, 38sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑋)
40 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (𝑇Fne𝑥𝑇Fne𝑡))
4140cbvralvw 3235 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥 ↔ ∀𝑡𝑆 𝑇Fne𝑡)
42 fnetg 36328 . . . . . . . . . 10 (𝑇Fne𝑡𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4342ralimi 3081 . . . . . . . . 9 (∀𝑡𝑆 𝑇Fne𝑡 → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4441, 43sylbi 217 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥 → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4544ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
46 ssiin 5060 . . . . . . 7 (𝑇 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡) ↔ ∀𝑡𝑆 𝑇 ⊆ (topGen‘𝑡))
4745, 46sylibr 234 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))
4839, 47ssind 4249 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
49 pwexg 5384 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
50 inex1g 5325 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
5251ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V)
53 bastg 22989 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∈ V → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5548, 54sstrd 4006 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇 ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5622, 12isfne4 36323 . . . 4 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ ( 𝑇 = (𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ∧ 𝑇 ⊆ (topGen‘(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))))
5735, 55, 56sylanbrc 583 . . 3 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) ∧ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)) → 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)))
5857ex 412 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → ((𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥) → 𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡))))
5932, 58impbid 212 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑦𝑆 𝑋 = 𝑦) → (𝑇Fne(𝒫 𝑋 𝑡𝑆 (topGen‘𝑡)) ↔ (𝑋 = 𝑇 ∧ ∀𝑥𝑆 𝑇Fne𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   ciin 4997   class class class wbr 5148  cfv 6563  topGenctg 17484  Fnecfne 36319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-fne 36320
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator