Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnemeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnemeet2 34868
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑑,π‘₯,𝑆   𝑑,𝑉,π‘₯   𝑑,𝑋,π‘₯,𝑦   𝑑,𝑇,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 5047 . . . . . . . . . 10 (𝑆 = βˆ… β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = 𝒫 𝑋)
21unieqd 4884 . . . . . . . . 9 (𝑆 = βˆ… β†’ βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ 𝒫 𝑋)
3 unipw 5412 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
42, 3eqtr2di 2794 . . . . . . . 8 (𝑆 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
54a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑆 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
6 n0 4311 . . . . . . . 8 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
7 unieq 4881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ π‘₯)
87eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ π‘₯))
98rspccva 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘₯)
1093adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘₯)
11 fnemeet1 34867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ π‘₯
1412, 13fnebas 34845 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯ β†’ βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ π‘₯)
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) = βˆͺ π‘₯)
1610, 15eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
17163expia 1122 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
1817exlimdv 1937 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
196, 18biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
205, 19pm2.61dne 3032 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
2120adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
22 eqid 2737 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2322, 12fnebas 34845 . . . . . 6 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
2423adantl 483 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))) β†’ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
2521, 24eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇)
2625ex 414 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇))
27 fnetr 34852 . . . . . . 7 ((𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∧ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯) β†’ 𝑇Fneπ‘₯)
2827expcom 415 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))Fneπ‘₯ β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑇Fneπ‘₯))
2911, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑇Fneπ‘₯))
30293expa 1119 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑇Fneπ‘₯))
3130ralrimdva 3152 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯))
3226, 31jcad 514 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)))
33 simprl 770 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇)
3420adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
3533, 34eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
36 eqimss2 4006 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝑇 β†’ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑋)
3736ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑋)
38 sspwuni 5065 . . . . . . 7 (𝑇 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑇 βŠ† 𝑋)
3937, 38sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† 𝒫 𝑋)
40 breq2 5114 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (𝑇Fneπ‘₯ ↔ 𝑇Fne𝑑))
4140cbvralvw 3228 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇Fne𝑑)
42 fnetg 34846 . . . . . . . . . 10 (𝑇Fne𝑑 β†’ 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4342ralimi 3087 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇Fne𝑑 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4441, 43sylbi 216 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4544ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
46 ssiin 5020 . . . . . . 7 (𝑇 βŠ† ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑆 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜π‘‘))
4745, 46sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))
4839, 47ssind 4197 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
49 pwexg 5338 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
50 inex1g 5281 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑋 ∈ V β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V)
5251ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V)
53 bastg 22332 . . . . . 6 ((𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∈ V β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5452, 53syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5548, 54sstrd 3959 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5622, 12isfne4 34841 . . . 4 (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ↔ (βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ∧ 𝑇 βŠ† (topGenβ€˜(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))))
5735, 55, 56sylanbrc 584 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)) β†’ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)))
5857ex 414 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ ((𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯) β†’ 𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘))))
5932, 58impbid 211 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑇Fne(𝒫 𝑋 ∩ ∩ 𝑑 ∈ 𝑆 (topGenβ€˜π‘‘)) ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝑇Fneπ‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆ© ciin 4960   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  topGenctg 17326  Fnecfne 34837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-topgen 17332  df-fne 34838
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator