Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnejoin2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fnejoin2 35254
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑆   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑦)   𝑉(𝑦)
Proof of Theorem fnejoin2
StepHypRef Expression
1 unisng 4930 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {𝑋} = 𝑋)
21eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 = βˆͺ {𝑋})
32adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝑋 = βˆͺ {𝑋})
4 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (𝑆 = βˆ… β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = {𝑋})
54unieqd 4923 . . . . . . . 8 (𝑆 = βˆ… β†’ βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ {𝑋})
65eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑆 = βˆ… β†’ (𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) ↔ 𝑋 = βˆͺ {𝑋}))
73, 6syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑆 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)))
8 n0 4347 . . . . . . 7 (𝑆 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆)
9 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑦 = βˆͺ π‘₯)
109eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ↔ 𝑋 = βˆͺ π‘₯))
1110rspccva 3612 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘₯)
12113adant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘₯)
13 fnejoin1 35253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ π‘₯
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)
1614, 15fnebas 35229 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
1713, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
1812, 17eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
19183expia 1122 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)))
2019exlimdv 1937 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)))
218, 20biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (𝑆 β‰  βˆ… β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)))
227, 21pm2.61dne 3029 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
23 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
2415, 23fnebas 35229 . . . . 5 (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑇)
2522, 24sylan9eq 2793 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇)
2625ex 414 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇))
27 fnetr 35236 . . . . . . 7 ((π‘₯Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) ∧ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇) β†’ π‘₯Fne𝑇)
2827ex 414 . . . . . 6 (π‘₯Fneif(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ π‘₯Fne𝑇))
2913, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ π‘₯Fne𝑇))
30293expa 1119 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ π‘₯Fne𝑇))
3130ralrimdva 3155 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇))
3226, 31jcad 514 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)))
3322adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ 𝑋 = βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆))
34 simprl 770 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑇)
3533, 34eqtr3d 2775 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑇)
36 sseq1 4008 . . . . 5 ({𝑋} = if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) β†’ ({𝑋} βŠ† (topGenβ€˜π‘‡) ↔ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) βŠ† (topGenβ€˜π‘‡)))
37 sseq1 4008 . . . . 5 (βˆͺ 𝑆 = if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) β†’ (βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘‡) ↔ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) βŠ† (topGenβ€˜π‘‡)))
38 elex 3493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ V)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ 𝑋 ∈ V)
4034, 39eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ V)
41 uniexb 7751 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ V ↔ βˆͺ 𝑇 ∈ V)
4240, 41sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ V)
43 ssid 4005 . . . . . . . . 9 𝑇 βŠ† 𝑇
44 eltg3i 22464 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑇 βŠ† 𝑇) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ (topGenβ€˜π‘‡))
4542, 43, 44sylancl 587 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ βˆͺ 𝑇 ∈ (topGenβ€˜π‘‡))
4634, 45eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ 𝑋 ∈ (topGenβ€˜π‘‡))
4746snssd 4813 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ {𝑋} βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
4847adantr 482 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) ∧ 𝑆 = βˆ…) β†’ {𝑋} βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
49 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)
50 fnetg 35230 . . . . . . . 8 (π‘₯Fne𝑇 β†’ π‘₯ βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
5150ralimi 3084 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
5249, 51syl 17 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
53 unissb 4944 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘‡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯ βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
5452, 53sylibr 233 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
5536, 37, 48, 54ifbothda 4567 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) βŠ† (topGenβ€˜π‘‡))
5615, 23isfne4 35225 . . . 4 (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 ↔ (βˆͺ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) = βˆͺ 𝑇 ∧ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆) βŠ† (topGenβ€˜π‘‡)))
5735, 55, 56sylanbrc 584 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)) β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇)
5857ex 414 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ ((𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇) β†’ if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇))
5932, 58impbid 211 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑋 = βˆͺ 𝑦) β†’ (if(𝑆 = βˆ…, {𝑋}, βˆͺ 𝑆)Fne𝑇 ↔ (𝑋 = βˆͺ 𝑇 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 π‘₯Fne𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  topGenctg 17383  Fnecfne 35221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-topgen 17389  df-fne 35222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator