Theorem isfne4 37343

Description: The predicate "𝐵 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
isfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
isfne4	⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

Proof of Theorem isfne4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnerel 37341	. . 3 ⊢ Rel Fne
2	1	brrelex2i 5715	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑋 = 𝑌)
4		isfne.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
5		isfne.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵
6	3, 4, 5	3eqtr3g 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
7		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
8	7	ssex 5289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
10	9	uniexd 7791	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝐴 ∈ V)
11	6, 10	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝐵 ∈ V)
12		uniexb 7810	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
13	11, 12	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14	4, 5	isfne 37342	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
15		dfss3 3902	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
16		eltg 23330	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
17	16	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
18	15, 17	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
19	18	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
20	14, 19	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))))
21	2, 13, 20	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  topGenctg 17658  Fnecfne 37339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-topgen 17664  df-fne 37340

This theorem is used by:  isfne4b  37344  isfne2  37345  isfne3  37346  fnebas  37347  fnetg  37348  topfne  37357  fnemeet1  37369  fnemeet2  37370  fnejoin1  37371  fnejoin2  37372