Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne4 32923
Description: The predicate "𝐵 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = 𝐴
isfne.2 𝑌 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

Proof of Theorem isfne4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 32921 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5407 . 2 (𝐴Fne𝐵𝐵 ∈ V)
3 simpl 476 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑋 = 𝑌)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 𝑌 = 𝐵
63, 4, 53eqtr3g 2836 . . . 4 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
7 fvex 6459 . . . . . . 7 (topGen‘𝐵) ∈ V
87ssex 5039 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
98adantl 475 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
10 uniexb 7250 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)
119, 10sylib 210 . . . 4 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
126, 11eqeltrrd 2859 . . 3 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
13 uniexb 7250 . . 3 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
1412, 13sylibr 226 . 2 ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
154, 5isfne 32922 . . 3 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
16 dfss3 3809 . . . . 5 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
17 eltg 21169 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
1817ralbidv 3167 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
1916, 18syl5bb 275 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
2019anbi2d 622 . . 3 (𝐵 ∈ V → ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
2115, 20bitr4d 274 . 2 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))))
222, 14, 21pm5.21nii 370 1 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  Vcvv 3397  cin 3790  wss 3791  𝒫 cpw 4378   cuni 4671   class class class wbr 4886  cfv 6135  topGenctg 16484  Fnecfne 32919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-topgen 16490  df-fne 32920
This theorem is referenced by:  isfne4b  32924  isfne2  32925  isfne3  32926  fnebas  32927  fnetg  32928  topfne  32937  fnemeet1  32949  fnemeet2  32950  fnejoin1  32951  fnejoin2  32952
  Copyright terms: Public domain W3C validator