Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isfne4 35819
Description: The predicate "𝐡 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = βˆͺ 𝐴
isfne.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Proof of Theorem isfne4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 35817 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5730 . 2 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V)
3 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
63, 4, 53eqtr3g 2791 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡)
7 fvex 6905 . . . . . . 7 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
87ssex 5316 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ V)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐴 ∈ V)
109uniexd 7742 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
116, 10eqeltrrd 2830 . . 3 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
12 uniexb 7761 . . 3 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
1311, 12sylibr 233 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ V)
144, 5isfne 35818 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
15 dfss3 3967 . . . . 5 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
16 eltg 22854 . . . . . 6 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1716ralbidv 3173 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1815, 17bitrid 283 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1918anbi2d 629 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
2014, 19bitr4d 282 . 2 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅))))
212, 13, 20pm5.21nii 378 1 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  Vcvv 3470   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  π’« cpw 4599  βˆͺ cuni 4904   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  topGenctg 17413  Fnecfne 35815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17419  df-fne 35816
This theorem is referenced by:  isfne4b  35820  isfne2  35821  isfne3  35822  fnebas  35823  fnetg  35824  topfne  35833  fnemeet1  35845  fnemeet2  35846  fnejoin1  35847  fnejoin2  35848
  Copyright terms: Public domain W3C validator