Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isfne4 35716
Description: The predicate "𝐡 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = βˆͺ 𝐴
isfne.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Proof of Theorem isfne4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 35714 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5724 . 2 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V)
3 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
63, 4, 53eqtr3g 2787 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡)
7 fvex 6895 . . . . . . 7 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
87ssex 5312 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ V)
98adantl 481 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐴 ∈ V)
109uniexd 7726 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
116, 10eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
12 uniexb 7745 . . 3 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
1311, 12sylibr 233 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ V)
144, 5isfne 35715 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
15 dfss3 3963 . . . . 5 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
16 eltg 22784 . . . . . 6 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1716ralbidv 3169 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1815, 17bitrid 283 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1918anbi2d 628 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
2014, 19bitr4d 282 . 2 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅))))
212, 13, 20pm5.21nii 378 1 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  topGenctg 17384  Fnecfne 35712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-topgen 17390  df-fne 35713
This theorem is referenced by:  isfne4b  35717  isfne2  35718  isfne3  35719  fnebas  35720  fnetg  35721  topfne  35730  fnemeet1  35742  fnemeet2  35743  fnejoin1  35744  fnejoin2  35745
  Copyright terms: Public domain W3C validator