Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne4 34865
Description: The predicate "𝐡 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = βˆͺ 𝐴
isfne.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))

Proof of Theorem isfne4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 34863 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5693 . 2 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V)
3 simpl 484 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
63, 4, 53eqtr3g 2796 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡)
7 fvex 6859 . . . . . . 7 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
87ssex 5282 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ V)
98adantl 483 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐴 ∈ V)
109uniexd 7683 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
116, 10eqeltrrd 2835 . . 3 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
12 uniexb 7702 . . 3 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
1311, 12sylibr 233 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ V)
144, 5isfne 34864 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
15 dfss3 3936 . . . . 5 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
16 eltg 22330 . . . . . 6 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1716ralbidv 3171 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1815, 17bitrid 283 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1918anbi2d 630 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
2014, 19bitr4d 282 . 2 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅))))
212, 13, 20pm5.21nii 380 1 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  topGenctg 17327  Fnecfne 34861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17333  df-fne 34862
This theorem is referenced by:  isfne4b  34866  isfne2  34867  isfne3  34868  fnebas  34869  fnetg  34870  topfne  34879  fnemeet1  34891  fnemeet2  34892  fnejoin1  34893  fnejoin2  34894
  Copyright terms: Public domain W3C validator