Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isfne4 35220
Description: The predicate "𝐡 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = βˆͺ 𝐴
isfne.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
Assertion
Ref Expression
isfne4 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Proof of Theorem isfne4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 35218 . . 3 Rel Fne
21brrelex2i 5733 . 2 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V)
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4 isfne.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐴
5 isfne.2 . . . . 5 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
63, 4, 53eqtr3g 2795 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡)
7 fvex 6904 . . . . . . 7 (topGenβ€˜π΅) ∈ V
87ssex 5321 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐴 ∈ V)
98adantl 482 . . . . 5 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐴 ∈ V)
109uniexd 7731 . . . 4 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ V)
116, 10eqeltrrd 2834 . . 3 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
12 uniexb 7750 . . 3 (𝐡 ∈ V ↔ βˆͺ 𝐡 ∈ V)
1311, 12sylibr 233 . 2 ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) β†’ 𝐡 ∈ V)
144, 5isfne 35219 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
15 dfss3 3970 . . . . 5 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
16 eltg 22459 . . . . . 6 (𝐡 ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1716ralbidv 3177 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1815, 17bitrid 282 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯)))
1918anbi2d 629 . . 3 (𝐡 ∈ V β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ βŠ† βˆͺ (𝐡 ∩ 𝒫 π‘₯))))
2014, 19bitr4d 281 . 2 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅))))
212, 13, 20pm5.21nii 379 1 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  topGenctg 17382  Fnecfne 35216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17388  df-fne 35217
This theorem is referenced by:  isfne4b  35221  isfne2  35222  isfne3  35223  fnebas  35224  fnetg  35225  topfne  35234  fnemeet1  35246  fnemeet2  35247  fnejoin1  35248  fnejoin2  35249
  Copyright terms: Public domain W3C validator