Theorem isfne4 37128

Description: The predicate "𝐵 is finer than 𝐴 " in terms of the topology generation function. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfne.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
isfne.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
isfne4	⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

Proof of Theorem isfne4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnerel 37126	. . 3 ⊢ Rel Fne
2	1	brrelex2i 5708	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝑋 = 𝑌)
4		isfne.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐴
5		isfne.2	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐵
6	3, 4, 5	3eqtr3g 2819	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
7		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘𝐵) ∈ V
8	7	ssex 5282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
10	9	uniexd 7759	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝐴 ∈ V)
11	6, 10	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ∪ 𝐵 ∈ V)
12		uniexb 7778	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V ↔ ∪ 𝐵 ∈ V)
13	11, 12	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
14	4, 5	isfne 37127	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
15		dfss3 3920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
16		eltg 23275	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
17	16	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
18	15, 17	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
19	18	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))))
20	14, 19	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))))
21	2, 13, 20	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  topGenctg 17608  Fnecfne 37124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-topgen 17614  df-fne 37125

This theorem is used by:  isfne4b  37129  isfne2  37130  isfne3  37131  fnebas  37132  fnetg  37133  topfne  37142  fnemeet1  37154  fnemeet2  37155  fnejoin1  37156  fnejoin2  37157