Theorem fnetr 36346

Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetr	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	fnebas 36339	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐶 = ∪ 𝐶
5	2, 4	fnebas 36339	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐶)
6	3, 5	sylan9eq 2785	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐶)
7		fnerel 36333	. . . . 5 ⊢ Rel Fne
8	7	brrelex2i 5698	. . . 4 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9	1, 2	isfne4b 36336	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
10	9	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	7	brrelex2i 5698	. . . 4 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → 𝐶 ∈ V)
13	2, 4	isfne4b 36336	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐵 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
14	13	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
15	12, 14	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
16	11, 15	sylan9ss 3963	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
17	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
18	1, 4	isfne4b 36336	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
20	6, 16, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  topGenctg 17407  Fnecfne 36331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-topgen 17413  df-fne 36332

This theorem is referenced by:  fnessref  36352  fnemeet2  36362  fnejoin2  36364