Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnetr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnetr 35835
Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnetr ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ 𝐴Fne𝐢)

Proof of Theorem fnetr
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
2 eqid 2728 . . . 4 βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐡
31, 2fnebas 35828 . . 3 (𝐴Fne𝐡 β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡)
4 eqid 2728 . . . 4 βˆͺ 𝐢 = βˆͺ 𝐢
52, 4fnebas 35828 . . 3 (𝐡Fne𝐢 β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢)
63, 5sylan9eq 2788 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐢)
7 fnerel 35822 . . . . 5 Rel Fne
87brrelex2i 5735 . . . 4 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V)
91, 2isfne4b 35825 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΅))))
109simplbda 499 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐡) β†’ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
118, 10mpancom 687 . . 3 (𝐴Fne𝐡 β†’ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
127brrelex2i 5735 . . . 4 (𝐡Fne𝐢 β†’ 𝐢 ∈ V)
132, 4isfne4b 35825 . . . . 5 (𝐢 ∈ V β†’ (𝐡Fne𝐢 ↔ (βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢 ∧ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))))
1413simplbda 499 . . . 4 ((𝐢 ∈ V ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
1512, 14mpancom 687 . . 3 (𝐡Fne𝐢 β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
1611, 15sylan9ss 3993 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
1712adantl 481 . . 3 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ 𝐢 ∈ V)
181, 4isfne4b 35825 . . 3 (𝐢 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐢 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐢 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ (𝐴Fne𝐢 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐢 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))))
206, 16, 19mpbir2and 712 1 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ 𝐴Fne𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  topGenctg 17418  Fnecfne 35820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-topgen 17424  df-fne 35821
This theorem is referenced by:  fnessref  35841  fnemeet2  35851  fnejoin2  35853
  Copyright terms: Public domain W3C validator