Theorem fnetr 36339

Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetr	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	fnebas 36332	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐶 = ∪ 𝐶
5	2, 4	fnebas 36332	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐶)
6	3, 5	sylan9eq 2784	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐶)
7		fnerel 36326	. . . . 5 ⊢ Rel Fne
8	7	brrelex2i 5695	. . . 4 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9	1, 2	isfne4b 36329	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
10	9	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	7	brrelex2i 5695	. . . 4 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → 𝐶 ∈ V)
13	2, 4	isfne4b 36329	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐵 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
14	13	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
15	12, 14	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
16	11, 15	sylan9ss 3960	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
17	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
18	1, 4	isfne4b 36329	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
20	6, 16, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  topGenctg 17400  Fnecfne 36324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-topgen 17406  df-fne 36325

This theorem is referenced by:  fnessref  36345  fnemeet2  36355  fnejoin2  36357