Theorem fnetr 36395

Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetr	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	fnebas 36388	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐶 = ∪ 𝐶
5	2, 4	fnebas 36388	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐶)
6	3, 5	sylan9eq 2786	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐶)
7		fnerel 36382	. . . . 5 ⊢ Rel Fne
8	7	brrelex2i 5671	. . . 4 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9	1, 2	isfne4b 36385	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
10	9	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	7	brrelex2i 5671	. . . 4 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → 𝐶 ∈ V)
13	2, 4	isfne4b 36385	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐵 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
14	13	simplbda 499	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
15	12, 14	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
16	11, 15	sylan9ss 3943	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
17	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
18	1, 4	isfne4b 36385	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
20	6, 16, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  topGenctg 17341  Fnecfne 36380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-topgen 17347  df-fne 36381

This theorem is referenced by:  fnessref  36401  fnemeet2  36411  fnejoin2  36413