Theorem fnetr 33812

Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetr	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	fnebas 33805	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐶 = ∪ 𝐶
5	2, 4	fnebas 33805	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐶)
6	3, 5	sylan9eq 2853	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐶)
7		fnerel 33799	. . . . 5 ⊢ Rel Fne
8	7	brrelex2i 5573	. . . 4 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9	1, 2	isfne4b 33802	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
10	9	simplbda 503	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	mpancom 687	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	7	brrelex2i 5573	. . . 4 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → 𝐶 ∈ V)
13	2, 4	isfne4b 33802	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐵 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
14	13	simplbda 503	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
15	12, 14	mpancom 687	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
16	11, 15	sylan9ss 3928	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
17	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
18	1, 4	isfne4b 33802	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
20	6, 16, 19	mpbir2and 712	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  topGenctg 16703  Fnecfne 33797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-topgen 16709  df-fne 33798

This theorem is referenced by:  fnessref  33818  fnemeet2  33828  fnejoin2  33830