Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnetr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnetr 32934
Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnetr ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr
StepHypRef Expression
1 eqid 2777 . . . 4 𝐴 = 𝐴
2 eqid 2777 . . . 4 𝐵 = 𝐵
31, 2fnebas 32927 . . 3 (𝐴Fne𝐵 𝐴 = 𝐵)
4 eqid 2777 . . . 4 𝐶 = 𝐶
52, 4fnebas 32927 . . 3 (𝐵Fne𝐶 𝐵 = 𝐶)
63, 5sylan9eq 2833 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
7 fnerel 32921 . . . . 5 Rel Fne
87brrelex2i 5407 . . . 4 (𝐴Fne𝐵𝐵 ∈ V)
91, 2isfne4b 32924 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ ( 𝐴 = 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
109simplbda 495 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
118, 10mpancom 678 . . 3 (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
127brrelex2i 5407 . . . 4 (𝐵Fne𝐶𝐶 ∈ V)
132, 4isfne4b 32924 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ ( 𝐵 = 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
1413simplbda 495 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
1512, 14mpancom 678 . . 3 (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
1611, 15sylan9ss 3833 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
1712adantl 475 . . 3 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
181, 4isfne4b 32924 . . 3 (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ ( 𝐴 = 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
206, 16, 19mpbir2and 703 1 ((𝐴Fne𝐵𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  wss 3791   cuni 4671   class class class wbr 4886  cfv 6135  topGenctg 16484  Fnecfne 32919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-topgen 16490  df-fne 32920
This theorem is referenced by:  fnessref  32940  fnemeet2  32950  fnejoin2  32952
  Copyright terms: Public domain W3C validator