Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnetr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnetr 35736
Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnetr ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ 𝐴Fne𝐢)

Proof of Theorem fnetr
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐴
2 eqid 2724 . . . 4 βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐡
31, 2fnebas 35729 . . 3 (𝐴Fne𝐡 β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡)
4 eqid 2724 . . . 4 βˆͺ 𝐢 = βˆͺ 𝐢
52, 4fnebas 35729 . . 3 (𝐡Fne𝐢 β†’ βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢)
63, 5sylan9eq 2784 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐢)
7 fnerel 35723 . . . . 5 Rel Fne
87brrelex2i 5724 . . . 4 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐡 ∈ V)
91, 2isfne4b 35726 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐡 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΅))))
109simplbda 499 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐡) β†’ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
118, 10mpancom 685 . . 3 (𝐴Fne𝐡 β†’ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜π΅))
127brrelex2i 5724 . . . 4 (𝐡Fne𝐢 β†’ 𝐢 ∈ V)
132, 4isfne4b 35726 . . . . 5 (𝐢 ∈ V β†’ (𝐡Fne𝐢 ↔ (βˆͺ 𝐡 = βˆͺ 𝐢 ∧ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))))
1413simplbda 499 . . . 4 ((𝐢 ∈ V ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
1512, 14mpancom 685 . . 3 (𝐡Fne𝐢 β†’ (topGenβ€˜π΅) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
1611, 15sylan9ss 3988 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))
1712adantl 481 . . 3 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ 𝐢 ∈ V)
181, 4isfne4b 35726 . . 3 (𝐢 ∈ V β†’ (𝐴Fne𝐢 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐢 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))))
1917, 18syl 17 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ (𝐴Fne𝐢 ↔ (βˆͺ 𝐴 = βˆͺ 𝐢 ∧ (topGenβ€˜π΄) βŠ† (topGenβ€˜πΆ))))
206, 16, 19mpbir2and 710 1 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝐡Fne𝐢) β†’ 𝐴Fne𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  topGenctg 17388  Fnecfne 35721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-topgen 17394  df-fne 35722
This theorem is referenced by:  fnessref  35742  fnemeet2  35752  fnejoin2  35754
  Copyright terms: Public domain W3C validator