Theorem fnetr 36586

Description: Transitivity of the fineness relation. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetr	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Proof of Theorem fnetr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	fnebas 36579	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐵)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐶 = ∪ 𝐶
5	2, 4	fnebas 36579	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → ∪ 𝐵 = ∪ 𝐶)
6	3, 5	sylan9eq 2795	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → ∪ 𝐴 = ∪ 𝐶)
7		fnerel 36573	. . . . 5 ⊢ Rel Fne
8	7	brrelex2i 5682	. . . 4 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐵 ∈ V)
9	1, 2	isfne4b 36576	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))))
10	9	simplbda 500	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴Fne𝐵) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	mpancom 694	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	7	brrelex2i 5682	. . . 4 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → 𝐶 ∈ V)
13	2, 4	isfne4b 36576	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐵Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐵 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))))
14	13	simplbda 500	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
15	12, 14	mpancom 694	. . 3 ⊢ (𝐵Fne𝐶 → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
16	11, 15	sylan9ss 3935	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))
17	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐶 ∈ V)
18	1, 4	isfne4b 36576	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → (𝐴Fne𝐶 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐶 ∧ (topGen‘𝐴) ⊆ (topGen‘𝐶))))
20	6, 16, 19	mpbir2and 719	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝐵Fne𝐶) → 𝐴Fne𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4845   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  topGenctg 17398  Fnecfne 36571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topgen 17404  df-fne 36572

This theorem is referenced by:  fnessref  36592  fnemeet2  36602  fnejoin2  36604